这个系列是GAMES302-等几何分析(GAMES 302: Iso-Geometric Analysis)的同步课程笔记。课程内容涉及等几何分析的几何建模理论与方法、等几何分析数值求解器研发基础、基于等几何分析的形状/拓扑优化理论与方法、等几何分析与细分造型、深度学习的交叉融合等内容，并对等几何分析的研究趋势及应用前景进行分析展望。本节课主要介绍等几何分析中的计算域参数化。
计算域参数化的由来
在上一节课中我们介绍了网格对于FEA的重要意义，显然网格的质量对FEA最终计算结果的精度有着重要的影响。而在IGA中，我们则希望能够直接在NURBS等CAD系统中的几何域上求解所需的PDE。
简单比较一下FEA和IGA，IGA的核心思想是使用与几何域一致的样条基作为基函数，这样可以避免很多单元离散导致的问题。
当然需要说明的是IGA在进行求解时往往也需要对几何域进行网格划分。
某种意义上讲，IGA可以看做使用样条基的一种特殊FEA。
而IGA中的参数化可以类比于FEA中的网格生成过程，它对于IGA的计算结果会产生重要的影响。
对于同样的几何域，不同的参数化可能会导致截然不同的计算结果。
因此计算域参数化在IGA中有着重要的意义。以二维平面区域为例，计算域参数化可以理解为在给定边界曲线的条件下构造出一组合适的内部控制点，更高维的情况与二维类似。
目前IGA中常用的参数化方法大体可以分为四大类。
计算域参数化的质量评价
一个理想的参数化需要保证没有自交、尽可能均匀并且等参线相互正交。
这样我们可以把没有自交作为约束，把均匀分布和等参线相互正交作为优化目标，将原始的参数化转换为一个约束优化问题。
基于优化的思想可以得到Coons算法，它是一种直接对边界点进行插值来获得内部控制点的方法。
当然也可以利用数值优化来处理参数化问题。
除此之外还可以利用调和函数来构造参数化。
对于给定边界的情况还可以先对边界进行重新参数化来方便后续的处理。
