这个系列是GAMES302-等几何分析(GAMES 302: Iso-Geometric Analysis)的同步课程笔记。课程内容涉及等几何分析的几何建模理论与方法、等几何分析数值求解器研发基础、基于等几何分析的形状/拓扑优化理论与方法、等几何分析与细分造型、深度学习的交叉融合等内容，并对等几何分析的研究趋势及应用前景进行分析展望。本节课主要介绍等几何分析的概念及其应用。
产品数字化设计\仿真\优化全流程介绍
在现代制造业中，产品从设计到生产一般包括几何建模、物理仿真、结构优化以及最终的生产制造过程。其中几何建模阶段主要关注产品的几何模型，然后在物理仿真阶段通过仿真软件来验证设计的可行性，并在结构优化阶段迭代优化设计模型，而最终的产品则会使用各种数控机床以及3D打印来制造出来。
整个设计仿真优化流程涉及到各种各样的计算软件。然而这些软件往往有着不同类型的输入数据格式，如何协调这些软件的输入输出格式是现代制造业生产制造过程的一大难点。
CAD
计算机辅助设计(computer-aided drafting/designing, CAD)主要关注的是如何使用计算机来表示生产制造流程中的几何对象。从早期的二维图纸到如今流行的三维设计软件，CAD已经是设计工业的不可或缺的组成部分。
CAD的数学理论基础是样条理论。我们可以使用有限的控制点来表示一个连续的曲面，通过移动和修改控制点来实现曲面的变形。
CAE
计算机辅助工程(computer-aided engineering, CAE)的目标是帮助设计者利用CAD得到的几何模型进行仿真计算从而保证产品能够满足相应的使用需求。CAE可以减少制造业对于物理样机试验的需求，从而极大地降低产品的设计成本与周期。
根据CAE软件的仿真类型，CAE可以分为运动分析(kinematic analysis)、有限元分析(FEA)以及计算流体动力学(CFD)等。
CAE软件的求解流程一般包括选择物理模型和数学模型，在此基础上将问题转换为数值问题，然后通过数值计算方法求解数值问题并根据计算结果来进行分析处理。根据这一标准处理流程，CAE软件一般可以划分为前处理工具、数值求解器以及后处理工具等几部分。
目前CAE软件大多都采用基于网格的计算方法。实际上网格质量的好坏在很大程度上会决定CAE仿真的计算结果，如何权衡网格精度与计算效率在很多时候是各种CAE仿真的最大难点。
得到CAE计算结果后需要使用后处理工具来帮助设计人员分析理解仿真数据。
结构优化
在CAE仿真结束后往往还会结合仿真结果对初始设计进行优化，这一过程称为结构优化(structure optimization)。
尺寸优化是最简单的结构优化方式。
在尺寸优化的基础上还可以对设计的几何形状进行优化。
近几年还出现了拓扑优化技术，它的目标是在满足各种设计需求的基础上寻找最优的材料分布，从而最小化制造成本。
可以说目前各种CAD、CAE软件已经成为了现代加工制造业的核心。然而遗憾的是国产工业软件在相关领域中的市场占比仍然非常有限，在目前的国际形势下工业软件的国产化已经迫在眉睫。
等几何分析介绍
提出背景
前面提到过CAD软件的理论基础是NURBS曲线曲面，这就意味着在CAD软件中曲线和曲面是使用控制点的方式来进行表示的；而CAE软件则需要使用各种离散化技术将连续的曲面转换为离散网格才能进行处理。离散的过程会引入离散误差影响CAE仿真结果，同时不也便于各种专业软件进行交互。
基本思想
为了真正解决CAD、CAE语言鸿沟的问题，T.J.R Hughes院士提出了等几何分析(iso-geometric analysis, IGA)的概念。它的基本思想是使用同一的样条数学语言来同时表示几何外形与物理场，这样所有的计算软件都可以使用同一套格式作为输入，大大降低了不同软件之间交互的成本。同时IGA还可以避免生成网格带来的离散误差，从而提高求解效率和计算精度。
目前IGA也逐渐成为CAD、CAE研究的一个热点。
典型应用
IGA的一些应用案例可以参考如下。
课程安排
本门课程的教学内容和规划如下。
