微分几何笔记06-测地曲率和测地线

 

这个系列是北京大学陈维桓教授《微分几何(第二版)》的学习笔记,主要涉及古典微分几何中曲线曲面理论的相关知识。系统学习微分几何对于理解计算机图形学中的各种几何处理算法是十分有益的。本节介绍内蕴几何学中测地曲率和测地线的相关内容。

由Gauss开创的曲面内蕴几何学有丰富的内容。本章的重点是研究曲面上曲线的测地曲率和测地线,在研究它们的外在特征和性质的同时,更主要的是证明它们可以通过曲面的第一基本形式进行计算,而与曲面的第二基本形式无关。因此它们在曲面的保长对应下是保持不变的,是曲面的内蕴性质。通过本章的学习,使我们了解曲面内蕴几何学的主要研究对象是什么,从而为今后学习黎曼几何学打下基础。

测地曲率和测地挠率

曲面上曲线的正交标架场

设正则参数曲面S的方程是r=r(u1,u2)C是曲面S上的一条曲线,它的方程是uα=uα(s)α=1,2,其中s是曲线C的弧长参数。那么C作为空间E3中曲线的参数方程是

r=r(s)=r(u1(s),u2(s))

曲线论中我们曾经沿空间曲线C建立了Frenet标架{r(s);α(s),β(s),γ(s)}。但是,曲线C的Frenet标架场没有考虑到目前的曲线C落在曲面S上的事实,因此Frenet标架及其运动公式(Frenet公式)自然不会反映曲线C和曲面S之间相互约束的关系。现在,我们要沿曲线C建立一个新的正交标架场{r;e1,e2,e3},使得它兼顾曲线C和曲面S,其定义是

e1=dr(s)ds=α(s)e3=n(s)e2=e3×e1=n(s)×α(s)

直观上,向量e2是将曲线C的切向量e1=α围绕曲面S的单位法向量n按正向旋转90°得到的。与平面曲线的Frenet标架相对照不难发现,我们在这里对于曲面S上的曲线C建立正交标架场的做法和平面曲线建立正交标架场的做法是一致的。换言之我们现在的目标是把平面上的曲线论推广成为曲面S上的曲线论。

首先我们要建立曲面S上沿曲线C的正交标架场{r;e1,e2,e3}的运动公式。因为这是单位正交标架场,所以可以假设

{dr(s)ds=e1de1(s)ds=κge2+κne3de2(s)ds=κge1+τge3de3(s)ds=κne1τge2

其中κgκnτg是待定的系数函数。很明显,

κn=de1(s)dse3(s)=r(s)n

所以κn恰好是曲面S沿曲线C的切方向的法曲率。类似地,将运动方程的第二式两边同时和e2作内积得到

κg=d2r(s)ds2e2=r(s)(n(s)×r(s))=(n(s),r(s),r(s))

κg为曲面S上的曲线C测地曲率。另外

τg=de2dsn=d(n×r(s))dsn=(n(s)×r(s))n=(n(s),n(s),r(s))

τg为曲面S上的曲线C测地挠率

测地曲率

下面我们来讨论曲面S上的曲线C的测地曲率的表达式和性质。从κg的定义式得到

κg=(n(s),r(s),r(s))=n(r(s)×r(s))=n(α(s)×κβ(s))=κnγ(s)=κcosθ~

其中θ~是曲线C的次法向量γ和曲面S的法向量n的夹角,也是曲线C的主法向量β和曲面S的切平面的夹角。利用上式e1的运动方程还能够写成

κβ(s)=κge2+κnn

所以

κ2=κg2+κn2

根据法曲率的定义,我们已经知道

κn=κcosθ

其中θ是曲线C的主法向量β和曲面S的法向量n的夹角。利用法曲率的几何解释可以容易地得到测地曲率的几何解释。

定理6.1C是在曲面S上的一条正则曲线,则曲线C在点p的测地曲率等于把曲线C投影到曲面S在点p的切平面上所得的曲线C~在该点的相对曲率,其中切平面的正向由曲面S在点p的法向量n给出。

证明 此定理可以通过直接计算来证明,不过这里我们采用更加几何的方式,利用法曲率的几何解释来证明。

设曲面S在点p的切平面是Π,从C上各点向平面Π作垂直的投影线,这些投影线构成一个柱面记为S~。那么曲线C是曲面SS~的交线,曲面S在点p的法向量n是曲面S~在点p的切向量。因为曲线C是曲面SS~的交线,所以曲线C的切向量e1既是曲面S的切向量,也是曲面S~的切向量,因此

e2=n×e1

是曲面S~的法向量。

设曲线C~是曲面S~和平面Π的交线,它正好是曲线C在平面Π上的投影曲线。由于e2是曲面S~的法向量,故Π是曲面S~的法截面。于是,从曲面S~上来观察,投影曲线C~是曲面S~上与曲线C相切的一条法截线,而且法截面Π的正向是由n给出的,即从e1e2的夹角是+90°。

设曲线C的方程是r=r(s),则C作为曲面S上的曲线的测地曲率为

κg=d2r(s)ds2e2

而从曲面S~上来看,上式右端也是C作为曲面S~上的曲线的法曲率κ~n,即法截线C~作为平面Π上曲线的相对曲率。证毕∎

定理6.2 曲面S上的任意一条曲线C的测地曲率κg在曲面S作保长对应时是保持不变的,即曲面上曲线的测地曲率是属于曲面内蕴几何学的量。

证明 曲面S:r=r(u1,u2)上任意一条曲线C:u1=u1(s),u2=u2(s)作为空间E3中的曲线的参数方程是

r(s)=r(u1(s),u2(s))

其中s是弧长参数。所以

e1(s)=α(s)=dr(s)ds=rαduα(s)ds

于是,根据Gauss公式

de1(s)ds=d2r(s)ds2=rαβduα(s)dsduβ(s)ds+rαd2uα(s)ds2=(d2uγ(s)ds2+Γαβγduα(s)dsduβ(s)ds)rγ+bαβduα(s)dsduβ(s)dsn

因此

κg=de1(s)dse2(s)=(d2uγ(s)ds2+Γαβγduα(s)dsduβ(s)ds)rγe2

但是

e2=n×e1=n×(du1(s)dsr1+du2(s)dsr2)

{r1e2=du2(s)dsr1(n×r2)=du2(s)ds|r1×r2|r2e2=du1(s)dsr2(n×r1)=du1(s)ds|r1×r2|

因此

κg=|r1×r2|(du1ds(d2u2ds2+Γαβ2duαdsduβds)du2ds(d2u1ds2+Γαβ1duαdsduβds))=g11g22(g12)2|du1dsd2u1(s)ds2+Γαβ1duαdsduβdsdu2dsd2u2(s)ds2+Γαβ2duαdsduβds|

由于上面的式子只依赖曲面S的第一类基本量及其导数,以及在曲面S的曲纹坐标下曲线C的参数方程及其导数,而与曲面S的第二类基本形式无关,所以当曲面S作保长变形时,曲线C的测地曲率κg是保持不变的。证毕∎

上面给出的测地曲率公式比较容易记忆,但是在计算时比较复杂。如果在曲面S上取正交参数系,则曲面S上的曲线C的测地曲率κg能够写成比较简单的表达式,称为Liouville公式。下面我们恢复使用Gauss的记号。

定理6.3(u,v)是曲面S上的正交参数系,因而曲面S的第一基本形式是I=E(du)2+G(dv)2。设C:u=u(s),v=v(s)是曲面S上的一条曲线,其中s是弧长参数。假定曲线Cu-曲线的夹角是θ,则曲线C的测地曲率是 κg=dθds12GlogEvcosθ+12ElogGusinθ

证明u-曲线和v-曲线的单位切向量分别记成α1α2,于是

α1=1Eru,   α2=1Grv

因此曲线C的单位切向量能够表示成

dr(s)ds=e1=cosθα1+sinθα2=rudu(s)ds+rvdv(s)ds=Edu(s)dsα1+Gdv(s)dsα2

所以

{cosθ=Edu(s)dssinθ=Gdv(s)ds{du(s)ds=1Ecosθdv(s)ds=1Gsinθ

其中θr(s)α1的夹角。

因为切向量e2是将切向量e1在切平面内作正向旋转90°得到的,即e2=n×e1,所以

e2=sinθα1+cosθα2

但是

d2r(s)ds2=dds(cosθα1+sinθα2)=(sinθα1+cosθα2)dθds+cosθdα1ds+sinθdα2ds=e2dθds+cosθdα1ds+sinθdα2ds

所以

κg=d2r(s)ds2e2=dθds+cosθdα1dse2+sinθdα2dse2

由于α1α2是相互正交的单位向量场,有

dα1dsα1=dα2dsα2=0 dα1dsα2=dα2dsα1

因此把e2=sinθα1+cosθα2代入测地曲率κg的表达式可以得到

κg=dθds+cosθdα1dse2+sinθdα2dse2=dθds+cosθdα1ds(sinθα1+cosθα2)+sinθdα2ds(sinθα1+cosθα2)=dθds+cos2θdα1dsα2sin2θdα2dsα1=dθds+dα1dsα2

α1α2的表达式得到

dα1ds=dds(1E)ru+1E(ruududs+ruvdvds) dα1dsα2=1EG(ruurvduds+ruvrvdvds)

因为rurv是彼此正交的,容易得知

ruurv=(rurv)ururuv=ruruv=12v(ruru)=12Ev ruvrv=12u(rvrv)=12Gu

所以

dα1dsα2=1EG(12Evduds+12Gudvds)=1EG(12EEvcosθ+12GGusinθ)=12GlogEvcosθ+12ElogGusinθ

因此

κg=dθds12GlogEvcosθ+12ElogGusinθ

证毕∎

作为特例,考虑u-曲线的测地曲率κg1。此时θ=0,因此

κg1=12GlogEv

同时,对于v-曲线,θ=π2,因此它的测地曲率κg2

κg2=12ElogGu

这样,Liouville公式又可以写成

κg=dθds+κg1cosθ+κg2sinθ

测地挠率

最后,我们来讨论测地挠率。由自然标架的运动公式得到

dn(s)ds=nuαduα(s)ds=bαβduα(s)dsrβ

代入测地挠率τg的表达式得到

τg=(n(s),n(s),r(s))=bαβduαdsduγds(n,rβ,rγ)=(bα1duαdsdu2ds+bα2duαdsdu1ds)|r1×r2|=g(b21(du2ds)2+(b22b11)du1dsdu2ds+b11(du1ds)2)

由于

g11=g22g,   g12=g21=g12g,   g22=g11g

所以

b21=g11b12g12b22=1g|g12g22b12b22| b22b11=g21b12+g22b22g11b11g12b21=1g|g11g22b11b22| b12=g21b11+g22b21=1g|g11g12b11b12|

因此

τg=1g|(du2ds)2du1dsdu2ds(du1ds)2g11g12g22b11b12b22|

从测地挠率的表达式可以看出,曲面S上的曲线C的测地挠率τg和法曲率一样,只是曲面S上的切方向的函数,反映的是曲面S本身的性质,而不只是曲面S上的曲线C的性质。特别是,如果曲面S上有两条在一点相切的曲线,则这两条曲线在该点有相同的测地挠率。很明显,测地挠率τg不是曲面S的内蕴几何量。

曲率线所满足的微分方程相对照不难发现,主方向恰好是曲面上使测地挠率为零的切方向。因此,曲面上的曲率线正好是沿其切方向的测地挠率为零的曲线。换言之,曲率线的微分方程是τg=0。实际上可以证明切平面上与主方向e1θ角度的切方向的测地曲率是

τg=12(κ2κ1)sin2θ=12dκn(θ)dθ

因此κg取极值的方向(即曲面的主方向)恰好是τg取零值的方向。

定理6.4 在曲面S上非直线的渐近曲线C的挠率是曲面S沿曲线C的切方向的测地挠率。

证明 由于曲线C是非直线的渐近曲线,故κ0,但是κn0。于是标架场的运动方程成为

{dr(s)ds=e1de1ds=|κg|(εe2)d(εe2)ds=|κg|e1+τg(εe3)d(εe3)ds=τg(εe2)

因为

κg2=κg2+κn2=κ20

所以{r(s);e1,εe2,εe3}恰好是曲线C的Frenet标架,其中ε=sign(κg)。因此曲线C的曲率是|κg|,挠率是τg。证毕∎

总起来说,本节介绍了曲面S上的曲线C的测地曲率和测地挠率的概念,其中测地曲率是曲面S的内蕴几何量,与曲面S的第二基本形式无关;测地挠率是曲面S在任意一点的切方向的函数,它与法曲率有密切的关系,实际上测地挠率是法曲率作为切方向的函数的导数之半。

从方法上来讲,沿曲面S上的曲线C建立与曲面S和曲线C都有关联的单位正交标架场是十分重要的。实际上,这是把平面上曲线的Frenet标架场搬到曲面上的情形。测地曲率的Liouville公式是十分有用的,它的推导过程有典型意义,应该予以足够的重视。

测地线

曲面S上的法曲率和测地挠率不是曲面S的内蕴几何量,因此渐近曲线和曲率线也都不属于曲面的内蕴几何的概念。曲面S上曲线C的测地曲率和它们不一样,当曲面S作保长变形时,曲线C的测地曲率是保持不变的。由此可见,曲面S上曲线C的测地曲率是内蕴几何量,因此曲面S上测地曲率为零的曲线,即测地线,属于曲面的内蕴几何学研究的内容。在本节,我们要研究曲面上的测地线的特征和性质,既要从曲面的外在几何的角度来观测,更要从曲面内蕴几何的角度进行研究。

定义6.1 在曲面S上测地曲率恒等于零的曲线称为曲面S上的测地线

很明显,平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率,因此平面上的测地线就是该平面上的直线。由此可见,曲面上的测地线的概念是平面上的直线概念的推广。在本节我们将从各个方面来解释这种推广的含义。

定理6.5 曲面S上的一条曲线C是测地线,当且仅当它或者是一条直线,或者它的主法向量处处是曲面S的法向量。

证明 在上一节已经知道曲面S上的曲线C的测地曲率是

κg=κcosθ~

其中θ~是曲线C的次法向量和曲面S的法向量的夹角。当C是曲面S上的测地线时,κg0,所以在曲线C的每一点必须有κ=0或者cosθ~=0。如果在曲线C上处处有κ=0,则该曲线C是一条直线;如果在曲线C的点pκ(p)0,则由曲率函数的连续性得知在点p的一个邻域内处处有κ0,于是cosθ~0,因此θ~=π2,即曲线C的次法向量和曲面S的法向量垂直,这就是说,曲线C的主法向量是曲面S的法向量。反过来是明显的。证毕∎

测地线方程

为了在一般的曲面S上求测地线,需要知道曲面S上的测地线所满足的微分方程。在上一节我们推导过切向量e1的运动方程

de1(s)ds=κge2+κne3=d2r(s)ds2=rαβduα(s)dsduβ(s)ds+rαd2uα(s)ds2=(d2uγ(s)ds2+Γαβγduα(s)dsduβ(s)ds)rγ+bαβduα(s)dsduβ(s)dse3

因此

κge2=(d2uγds2+Γαβγduαdsduβds)rγ

显然r1r2是线性无关的,因此κg0的充分必要条件是

d2uγds2+Γαβγduαdsduβds=0

这就是曲面S上的测地线所满足的微分方程,并且该方程只涉及曲面S的第一基本形式,而与曲面S的第二基本形式无关。因此,这是曲面S上的测地线属于曲面内蕴几何范畴的微分方程。

若引进新的未知函数vγ,则上面的二阶常微分方程组便降阶为一阶常微分方程组

{duγds=vγdvγds=Γαβγvαvβ

这是拟线性常微分方程组。根据常微分方程组的理论,对于任意给定的初始值(u01,u02;v01,v02),必存在ε>0,使得方程组有定义在区间(ε,ε)上的唯一解uγ=uγ(s)vγ=vγ(s),满足初始条件

uγ(0)=u0γ,   vγ(0)=v0γ

很明显,函数组uγ=uγ(s)满足测地线的微分方程组。

如果初始值(u01,u02;v01,v02)满足条件

gαβ(u01,u02)v0αv0β=1

则能够证明如上所给出的解函数uγ=uγ(s)是曲面S上以弧长s为参数的一条测地线。实际上,如果命

f(s)=gαβ(u1(s),u2(s))duα(s)dsduβ(s)ds1

df(s)ds=gαβuγduγdsduαdsduβds+2gαβd2uαds2duβds=(Γαβγ+Γβαγ)duγdsduαdsduβds2gαβΓγδαduγdsduδdsduβds=0

根据条件f(0)=gαβ(u01,u02)v0αv0β1=0,所以

f(s)0

这意味着,由方程uγ=uγ(s)给出的曲线是正则曲线,并且s是它的弧长参数。上面的讨论可以归结为

定理6.6 对于曲面S上的任意一点p和曲面S在点p的任意一个单位切向量v,在曲面S上必存在唯一的一条以弧长为参数的测地线C通过点p,并且在点pv为它的切向量。

需要指出,定理6.6的证明本身说明方程组

d2uγ(s)ds2+Γαβγduα(s)dsduβ(s)ds=0

的解u=uγ(s)必定满足

dds(gαβ(u1(s),u2(s))duα(s)dsduβ(s)ds)=0

因此只要初始值(v01,v02)0,则

|dr(s)ds|2=gαβ(u1(s),u2(s))duα(s)dsduβ(s)ds=gαβ(u01,u02)v0αv0β=常数0

这就是说,曲线C:r=r(u1(s),u2(s))是正则曲线,并且参数s与弧长成比例。特别是,当条件

gαβ(u01,u02)v0αv0β=1

成立时,即切向量v的长度为1时,s恰好是它的弧长参数。

如果在曲面S上取正交参数系(u,v),则利用测地曲率的Liouville公式,测地线的微分方程组还可以写成

{duds=1Ecosθdvds=1Gsinθdθds=12GlogEvcosθ12ElogGusinθ

曲面上的最短线

众所周知,在平面上连接两点的最短线是以这两点为端点的直线段。在曲面上,测地线具有类似的性质。下面先简要地介绍曲面S上的曲线C的变分的概念。

C:uα=uα(s),α=1,2是曲面S:r=r(u1,u2)上的一条曲线,其中asb,且s是曲线C的弧长参数。如果存在定义在区域[a,b]×(ε,ε)上的可微函数

uα=uα(s,t)

使得

uα(s,0)=uα(s)

则称uα(s,t)是曲线C的一个变分。如果进一步有

uα(a,t)=uα(a),   uα(b,t)=uα(b)

则称该变分有固定的端点。在直观上,对于每一个参数t(ε,ε),函数组uα(s,t)给出了一条曲线Ct,它的参数方程是

uα=utα(s)=uα(s,t)

条件uα(s,0)=uα(s)说明已知的曲线C是这族曲线中的一员,且C=C0。因此,所谓的曲线C的变分就是把它嵌入到在它周围变化的一个曲线族Ct中去。有固定端点的意思是,曲线C的变分曲线Ct和曲线C本身有相同的起点和终点,即它们有公共的端点。需要指出的是,尽管可以假定参数s是曲线C的弧长参数,但是s未必是变分曲线Ct的弧长参数。

L(C)表示曲线C的长度,即

L(C)=abgαβ(u1(s),u2(s))duα(s)dsduβ(s)ds ds

曲线C是连接它的两个端点的最短线的意思是,它的长度不会比连接曲线C的端点的其他曲线的长度更长。特别是,如果把曲线C嵌入到任意一个有相同端点的变分曲线族Ct中时,必定有L(C)L(Ct),于是应该有

ddt|t=0L(Ct)=0

当曲面S上的曲线C关于它的一个变分Ct满足上述条件,则称曲线C的弧长在它的变分曲线Ct中达到临界值。需要指出的是,上面的做法完全忽略了曲面S的外在特征,而只与曲面S的第一基本形式有关,这就是说,上述考虑属于曲面S的内蕴几何的范畴。

vα(s)=t|t=0uα(s,t) v(s)=vαrα(u1(s),u2(s))

v(s)是曲面S上沿曲线C定义的一个切向量场,称为变分uα(s,t)变分向量场。实际上,变分向量v(s0)是变分uα(s,t)s=s0时给出的曲线uα=uα(s0,t)t=0处的切向量。条件uα(a,t)=uα(a)uα(b,t)=uα(b)意味着v(a)=0v(b)=0,即对于曲线C有固定端点的变分而言,它的变分向量场在端点的值为零。反过来,如果在曲面S上沿曲线C给定了一个切向量场v(s),则可以定义曲线C的一个变分,使得它的变分向量场是v(s)。实际上,只要命

uα(s,t)=uα(s)+tvα(s)

就可以了。很明显,当v(a)=0v(b)=0时,上面的变分确实有固定的端点。

假定曲面S的第一基本形式是

I=gαβ(u1,u2)duαduβ

则变分曲线Ct的长度是

L(Ct)=abgαβ(u1(s,t),u2(s,t))uα(s,t)suβ(s,t)s ds

所以

ddtL(Ct)=abt(gαβuαsuβs) ds=12ab(gαβuγuγtuαsuβs+2gαβ2uαstuβs)(gαβuαsuβs)12 ds

因为s是曲线C=C0的弧长参数,因此

gαβuαsuβs|t=0=1

所以

ddtL(Ct)|t=0=ab12(gαβuγvγ(s)duαdsduβds+2gαβdvαdsduβds) ds

由于

gαβdvαdsduβds=dds(gαβvαduβds)vαdds(gαβduβds)=dds(gαβvαduβds)vα(gαβuγduγdsduβds+gαβd2uβds2)

代入前面的式子后再用分部积分得到

ddtL(Ct)|t=0=ab[dds(gαβvαduβds)vα(gαβd2uβds2+12(gαβuγ+gαγuβgγβuα)duγdsduβds)] ds=gαβvαduβds|s=as=babgαβvα(d2uβds2+Γγδβduγdsduδds) ds

假定变分有固定的端点,则vα(a)=vα(b)=0,于是

ddtL(Ct)|t=0=abgαβvα(d2uβds2+Γγδβduγdsduδds) ds

前一个关于ddtL(Ct)|t=0的式子称为曲面S上的曲线C的弧长的第一变分公式,而后一个式子称为曲面S上的曲线C关于有固定端点的变分的弧长的第一变分公式。

定理6.7C是曲面S上的一条曲线,则C的弧长在它的任意一个有固定端点的变分Ct中达到临界值的充分必要条件是,曲线C是曲面S上的测地线。

证明C是曲面S上的一条测地线,则它的参数方程uα=uα(s)满足微分方程组

d2uβds2+Γγδβduγdsduδds=0

于是根据第一变分公式,对于曲线C的任意一个有固定端点的变分Ct有下式成立

ddtL(Ct)|t=0=0

反过来,假定对于曲线C的任意一个有固定端点的变分Ct,上式都成立。取

vα(s)=sin(sa)πba(d2uαds2+Γξηαduξdsduηds)

vα(a)=vα(b)=0,于是在曲面S上有曲线C的以vα(a)为变分向量场的变分Ct,它有固定的端点。将上式代入有固定端点的变分的弧长的第一变分公式得到

ddtL(Ct)|t=0=absin(sa)πbagαβ(d2uαds2+Γξηαduξdsduηds)(d2uβds2+Γγδβduγdsduδds) ds

根据关系式

κge2=(d2uγds2+Γαβγduαdsduβds)rγ

(κg)2=(κge2)(κge2)=(d2uαds2+Γξηαduξdsduηds)(d2uβds2+Γγδβduγdsduδds)rαrβ=gαβ(d2uαds2+Γξηαduξdsduηds)(d2uβds2+Γγδβduγdsduδds)

因此

ddtL(Ct)|t=0=absin(sa)πba(κg)2 ds=0

由于上式的被积表达式sin(sa)πba(κg)20,故有

sin(sa)πba(κg)2=0

于是κg0,曲线C是曲面S上的测地线。证毕∎

推论pq是曲面S上的任意两点,如果曲线C是在曲面S上连接pq两点的最短线,则C必是曲面S上的测地线。

定理6.7的证明过程只涉及曲面S的第一基本形式,与曲面S的外在特征无关。

测地坐标系和法坐标系

在空间中选择适当的坐标系始终是几何学中的重要课题。对于只有第一基本形式的曲面而言,这种适当的坐标系应该是能够把曲面的第一基本形式最简单地表示出来的参数系。本节要构造这种特殊的参数系,统称为测地坐标系。

测地线族

首先叙述在曲面上覆盖了一个区域的测地线族的概念。假定在曲面S上有依赖一个参数的测地线族Σ,如果对于区域DS上的每一个点p,有且只有一条属于Σ的测地线经过点p,则称Σ是在曲面S上覆盖了区域D的一个测地线族。很明显,如果把Σ中的测地线都限制在区域D上,则覆盖了区域D的测地线族Σ中的任意两条不同的测地线都不会彼此相交。

如果Σ是曲面S上覆盖了区域D的一个测地线族,则在D内有另一个曲线族记为Σ1,它是由Σ的正交轨线构成的。于是区域D内的任意一点p必有一个邻域UD和参数系(u,v),使得ΣΣ1中的曲线在U上的限制分别是曲面的u-曲线族和v-曲线族。实际上,测地线族Σ中的每一条测地线的切向量构成区域D上的一个处处非零的切向量场a, 同时它也在区域D上决定了与之正交的另一个处处非零的切向量场b,后者与Σ1中的曲线处处相切。定理3.2断言:在区域D内的任意一点p的一个邻域UD内必存在参数系(u,v),使得u-曲线和v-曲线分别和切向量场ab相切,这就是说,Σ是由u-曲线组成的(至多每一条曲线差一个重新参数化),而Σ1是由v-曲线组成的(至多每一条曲线差一个重新参数化)。由于曲线族ΣΣ1是彼此正交的,故曲面S的第一基本形式可以写成

I=E(du)2+G(dv)2

由于u-曲线是测地线,它的测地曲率κg1为零,根据Liouville公式得到

κg1=12GlogEv=0

Ev=0

这说明E(u,v)只是u的函数,与v无关,因此可以写成E(u)。作参数变换

{u~=u0uE(u) duv~=v

则曲面S的第一基本形式在U上的限制成为

I=(du~)2+G~(u~,v~)(dv~)2

由此可以得到下面的定理:

定理6.8Σ是曲面S上覆盖了区域D的测地曲线族,Σ1是由在区域D内与Σ中曲线正交的轨线构成的曲线族,则Σ1中的任意两条曲线在测地线族Σ中的各条测地线上截出的曲线段的长度都相等。

证明 假定在区域D上取参数系(u~,v~),使得曲面S的第一基本形式在D上为

I=(du~)2+G~(u~,v~)(dv~)2

Σ1中取定两条曲线,设为C1:u~=u1C2:u~=u2,假定u1<u2。又设C:v~=v0是属于测地线族Σ的一条曲线,它被曲线C1C2所截,截得的长度是

u1u2I|v~=v0=u1u2 du~=u2u1

它与v0的值无关。证毕∎

定理6.8的直观意义是,覆盖区域D的测地线族的任意两条正交轨线之间的距离是处处相等的。因此从这个意义上说,覆盖区域D的测地线族的任意两条正交轨线是测地平行的。

定理6.9C是曲面S上连接pq两点的一条测地线。如果曲线C能够嵌入到一个覆盖了区域D的测地线族Σ中去,并且p,qD,则曲线C是在区域D内连接pq两点的最短线。

证明 假定在区域D上取参数系(u~,v~),使得曲面S的第一基本形式在D上为

I=(du~)2+G~(u~,v~)(dv~)2

曲线C对应于v~=0p的曲纹坐标是(0,0),而q的曲纹坐标是(l,0),其中l是曲线C的长度。若C~是区域D内连接pq两点的任意一条曲线,设它的参数方程是u~=u(t)v~=v(t)0tl,并且u(0)=0u(l)=lv(0)=v(l)=0,则它的长度是

L(C~)=0l(du(t)dt)2+G~(u(t),v(t))(dv(t)dt)2 ds0l|du(t)dt| ds0ldu(t)=l

因此L(C~)L(C)。证毕∎

在曲面S上构造覆盖某个区域的测地线族的方法有很多。在本节,我们介绍两种方法,它们所对应的参数系分别称为测地平行坐标系和测地极坐标系。

测地平行坐标系

首先在曲面S上取定一条测地线C,然后经过曲线C上每一点作一条测地线与曲线C正交,将这些测地线构成的曲线族记为Σ,则曲线族Σ必定覆盖了曲线C的一个邻域U

根据前面的讨论得知,在曲线C的邻域U内存在参数系(u,v),使得Σ恰好是u-曲线族,而曲线C对应于曲线u=0,并且曲面S的第一基本形式成为

I=(du)2+G(u,v)(dv)2

在必要时经过适当的参数变换,例如v~=v0vG(0,v) dv,总可以假定在u=0时参数v是曲线C的弧长参数,因此

G(0,v)=1

又因为曲线C:u=0本身是测地线,它的测地曲率

κg2|u=0=12logGu|u=0=0

因此

Gu(0,v)=0

这样,我们有

定理6.10 在曲面S的每一点p的一个充分小的邻域U内必定存在参数系(u,v),使得点p对应于u=0v=0,而曲面S的第一基本形式成为I=(du)2+G(u,v)(dv)2,其中G(u,v)满足条件G(0,v)=1G(u,v)u(0,v)=0。这样的参数系(u,v)称为曲面S在点p附近的测地平行坐标系

很明显,平面上的测地平行坐标系就是通常的笛卡儿直角坐标系。

法坐标系

现在我们采取另一种做法,先引进曲面S在点p的法坐标系,采用张量记号。在曲面S上取定一点p,假定(u1,u2)是曲面S在点p附近的正交参数系,u1(p)=0u2(p)=0,于是曲面S的第一基本形式成为

I=g11(du1)2+g22(du2)2,   g12=g21=0

并且可以假定

g11(0,0)=1,   g22(0,0)=1

这样,{p;r1|p,r2|p}是曲面S在点p的切空间TpS上的一个单位正交标架。首先,我们要定义映射expp:TpSS,称为曲面S在点p的指数映射。

根据定理6.6,对于在点p的任意一个切向量v,存在唯一的一条测地线经过点p,并且以v为它在点p的切向量,记为γ(s)=γ(s;v)。于是

γ(0)=p,   γ(0)=v

并且由上式得知

|γ(s)|=|γ(0)|=|v|(常数)

uα(s)=uα(γ(s)),这是测地线γ(s)的参数方程,并且参数s与弧长成比例。让s作变量替换s=λt,其中λ>0是常数,并且命

γ~(t)=γ(λt)=γ(λt;v)

它的参数方程是

u~α(t)=uα(γ~(t))=uα(γ(λt))=uα(λt)

那么

du~α(t)dt=λduα(s)ds d2u~α(t)dt2=λ2d2uα(s)ds2

因此

d2u~α(t)dt2+Γβγαdu~β(t)dtdu~γ(t)dt=λ2(d2uα(s)ds2+Γβγαduβ(s)dsduγ(s)ds)=0

这说明γ~(t)仍然是一条测地线,并且

γ~(0)=γ(0)=p,   γ~(0)=λγ(0)=λv

由此可见,γ~(t)是一条从点p出发、以λv为它在点p为切向量的测地线。根据定理6.6的唯一性以及记号γ(s;v)的意义得知,必定有

γ~(t)=γ(λt;v)=γ(t;λv)

上式的意义是:对于给定的切向量v来说,测地线γ(s;v)定义域可能是某个充分小的区间(ε,ε)。如果将初始切向量v的长度成倍地缩小,则测地线γ(s;v)的定义域将会成倍地增大。这就是说,当切向量v的长度充分小时,可以使测地线γ(s;v)的定义域足够大。因此,在切空间TpS上可以取原点的一个充分小的邻域U,使得由

expp(v)=γ(1;v),   vU

给出的映射expp:US有定义。该映射expp:US称为曲面S在点p指数映射,它的几何意义是明显的。当v=0时,expp(0)=p;当v0时,命v0=v|v|,则v0v的单位方向向量。根据关系式γ(λt;v)=γ(t;λv)

γ(1;v)=γ(1;|v|v0)=γ(|v|;v0)

由此可见,若以单位切向量v0为初始切向量作经过点p的测地线γ(s;v0),其中s是弧长参数,则在该测地线上截取s=|v|的点正好是指数映射expp下的像expp(v)=γ(1;v)。根据常微分方程组的解关于初始值的连续可微依赖性得知,指数映射expp:US是连续可微的。

假定切空间TpS在单位正交标架{p;r1|p,r2|p}下的坐标是(v1,v2),即在点p的任意一个切向量vTpS可以表示为

v=v1r1|p+v2r2|p

我们要说明,切空间TpS上的坐标系(v1,v2)经过指数映射expp:US成为曲面S在点p附近的参数系,这样得到的参数系称为曲面S在点p法坐标系。实际上,命

uα=uα(expp(v))=uα(γ(1;v))uα(v1,v2),   α=1,2

它们是参数v1v2的连续可微函数。任意取定vU,命

uα(t)=uα(expp(tv))=uα(γ(1;tv))

因此

uα(t)=uα(tv1,tv2)

这正好是曲面S上经过点p、以v为初始切向量的测地线γ(t;v)的参数方程。因此

uα(0)=uα(0,0)=0,   α=1,2

并且

v=γ(t;v)|t=0=duα(t)dt|t=0rα|p=uαvβ|pvβrα|p

将上式与v=v1r1|p+v2r2|p相比较得到

uαvβ|p=δβα={1,   α=β0,   αβ

由此可见,变换uα=uα(v1,v2)是曲面S在点p附近的正则参数变换,因此(v1,v2)是曲面S在点p附近容许的参数系。

曲面S在点p的法坐标系(v1,v2)的特征是:经过点p的测地线γ(t;v)的参数方程

vα(t)=vα(γ(t;v))=vα(u1(t),u2(t))

t的线性函数。事实上,设参数变换uα=uα(v1,v2)的逆变换是

vα=vα(u1,u2)

即它们关于任意的(u1,u2)满足恒等式

uαuα(v1(u1,u2),v2(u1,u2)),   α=1,2

特别是将测地线γ(t;v)的参数方程(u1(t),u2(t))带入上式得到

uα(t)=uα(v1(u1(t),u2(t)),v2(u1(t),u2(t)))=uα(v1(t),v2(t))

另一方面

uα(t)=uα(tv1,tv2)

根据在给定的参数系下点的曲纹坐标的唯一性,比较上面两式,得到经过点p的测地线γ(t;v)的参数方程是

{v1(t)=tv1v2(t)=tv2

假定曲面S在点p的法坐标系(v1,v2)下的第一类基本量是g~αβ,那么

g~αβ=gγδuγvαuδvβ

特别地由uαvβ|p=δβα得知

g~11(0,0)=g~22(0,0)=g11(0,0)=g22(0,0)=1 g~12(0,0)=g~21(0,0)=g12(0,0)=g21(0,0)=0

我们还能够得到关于g~αβ的更多的信息。由于vα(t)=tvα是曲面S上经过点p、以v为切向量的测地线,它应该满足测地线的微分方程

d2vγ(t)dt2+Γ~αβγdvα(t)dtdvβ(t)dt=Γ~αβγ(γ(t;v))vαvβ=0

其中Γ~αβγ是关于g~αβ的Christoffel记号。取t=0,则上式成为

Γ~αβγ(p)vαvβ=0

U上这是关于v=(v1,v2)的恒等式,并且Γ~αβγ(p)=Γ~βαγ(p),因此

Γ~αβγ(p)=0

由此可见,我们有下面的定理:

定理6.11 曲面S在任意一点p的附近必有法坐标系(v1,v2),在此坐标系下从点p出发、以(v01,v02)为切向量的测地线的参数方程是v1(t)=tv01v2(t)=tv02,并且曲面S的第一类基本量g~αβ满足g~11(p)=g~22(p)=1g~12(p)=g~21(p)=0Γ~αβγ(p)=0,因此 g~αβvγ(p)=g~αδΓ~βγδ(p)+g~βδΓ~αγδ(p)=0

需要指出的是,在点p的法坐标系(v1,v2)下,曲面S的第一类基本量g~αβ在点p有很好的性质,但在点p意外却未必有下列等式:

g~12=g~21=0

即法坐标系在点p以外未必是正交参数系。

测地极坐标系

最后,我们来看曲面S在点p的测地极坐标系(s,θ)。设(v1,v2)是切空间TpS中的笛卡尔直角坐标系,则在切空间TpS上可以取极坐标系(s,θ),使得

{v1=scosθv2=ssinθ

这样的坐标系适用于切空间TpS中除去从点p出发的一条射线后余下的区域。于是(v1,v2)通过指数映射expp:US成为曲面S在点p附近的法坐标系,同时(s,θ)成为曲面S在点p附近、除去从点p出发的一条测地线后余下的区域上的一个新的参数系,称为曲面S在点p测地极坐标系。从测地极坐标系(s,θ)到法坐标系(v1,v2)的坐标变换恰好是由上式给出的。

为确定起见,假定所去掉的射线对应于θ=π,于是在切空间TpS上测地极坐标系(s,θ)的适用范围是0<s<π<θ<π。用U0表示区域U是在去掉从点p出发的这条对应的测地线后余下的区域。对于任意固定的π<θ0<π,让s变化,则上面方程组给出TpS中从原点出发的一条射线,而在曲面S上得到从点p出发的一条测地线,该测地线用法坐标系表示的参数方程是

{v1(s)=scosθ0v2(s)=ssinθ0

将所有这样的测地线的集合记为Σ,那么Σ是覆盖了区域U0的测地线族。任意固定一个充分小的值s=s0>0,让θ变化,则在曲面S上得到一条曲线,它是在测地线族Σ中每一条测地线上从点p出发、截取长度为s0的点所得到的轨迹,称为曲面S上以点p为中心、以s0为半径的测地圆。将以点p为中心的全体测地圆的集合记为Σ1

引理p出发的测地线与以点p为中心的测地圆是彼此正交的,即曲线族Σ1中的每一条曲线是测地线族Σ的正交轨线。

通常把上面的引理称为Gauss引理

证明 假定(u1,u2)是点p附近的正交参数系,并且点p对应于坐标u1=0u2=0。设曲面S的第一基本形式是

I=gαβduαduβ

θ表示在点p的切向量与u1-曲线的夹角。根据定理6.6,经过点p、与u1-曲线的夹角为θ的测地线记为Cθ,其参数方程是uα=uα(s,θ),其中s是测地线的弧长参数,并且uα(s,θ)sθ的连续可微函数。曲线族Σ中的曲线Σθ就是θ为常数的曲线,曲线族Σ1中的曲线就是s为常数的曲线。设曲线C是测地线θ=θ00ss0,即它的参数方程是uα=uα(s,θ0)0ss0,那么曲线族Σ是它的一个变分,其变分向量场由

wα(s)=uα(s,θ)θ|θ=θ0

给出。由于变分曲线都是从点p出发的,故uα(0,θ)=0,所以wα(0)=0α=1,2。然而wα(s0)rα是测地圆uα=uα(s0,θ)θ=θ0处的切向量,根据曲线弧长的第一变分公式得到

ddθ|θ=θ0L(Cθ)=gαβwα(s)duβds|s=0s=s00rgαβwα(d2uβds2+Γγδβduγdsduδds)ds=gαβwα(s0)duβds|s=0

但是,每一条测地线Cθ:uα=uα(s,θ)0ss0的长度都是s0,即L(Cθ)=s0,因此上式的最左段为零,于是

gαβwα(s0)duβds|s=0=0

这意味着,测地线C与直径为s0的测地圆是彼此正交的。证毕∎

由于Σ1是测地线族Σ的正交轨道族,s是曲线族Σ中测地线的弧长参数,于是(s,θ)U0上的参数系,而且曲面S的第一基本形式成为

I=(ds)2+G(s,θ)(dθ)2

我们想要知道函数G(s,θ)的更多性质。已知曲面S在点p的法坐标系(v1,v2)和测地极坐标系(s,θ)的坐标变换是由

{v1=scosθv2=ssinθ

给出的,因此

{(v1)2+(v2)2=s2v2v1=tanθ

同时

{dv1=cosθdsssinθdθdv2=sinθds+scosθdθ

所以

{ds=v1dv1+v2dv2sdθ=v1dv2v2dv1s2

将上式代入第一基本形式得到

I=(ds)2+G(s,θ)(dθ)2=(v1sdv1+v2sdv2)2+G(s,θ)(v1s2dv2+v2s2dv1)2=((v1)2s2+G(v2)2s4)(dv1)2+2v1v2s2(1Gs2)dv1dv2+((v2)2s2+G(v1)2s4)(dv2)2=(1+(v2)2s2(Gs21))(dv1)2+2v1v2s2(1Gs2)dv1dv2+(1+(v1)2s2(Gs21))(dv2)2

由此可见

{g~11=1+(v2)2s2(Gs21)=1+sin2θ(Gs21)g~12=v1v2s2(1Gs2)=sinθcosθ(1Gs2)g~22=1+(v1)2s2(Gs21)=1+cos2θ(Gs21)

与法坐标系下的第一基本量相对比得到

lims0G(s,θ)s2=1

G(s,θ)=s2+o(s2) G(s,θ)=s+o(s)

因此

lims0G(s,θ)=0

并且

因此

lims0(G(s,θ))s=1

综合上面的讨论我们有下述定理。

定理6.12 在曲面S的每一点p的邻域内,除去从点p出发的一条测地线外,必存在测地极坐标系(s,0),使得曲面S的第一基本形式成为 I=(ds)2+G(s,θ)(dθ)2 其中函数G(s,θ)满足条件 lims0G(s,θ)=0lims0sG(s,θ)=1

显然,平面上的极坐标系就是测地极坐标系。

在本节,我们分别介绍了曲面上的测地平行坐标系、法坐标系和测地极坐标系。曲面的第一基本形式在测地平行坐标系和测地极坐标系有最简单的表达式,这就是本节所叙述的定理6.10定理6.12。曲面上的法坐标系是将曲面在一点处的切空间的笛卡儿直角坐标系经过指数映射产生的,它的特点是经过该点的测地线参数方程变得十分简单,恰好是参数的线性函数,因而相应的第一类基本量在该点有很好的性质。在维数≥3的黎曼几何情形,测地平行坐标系和测地极坐标系不再以如此简单的形式出现了,但是仍然有法坐标系的理论,其中Gauss引理将是十分重要的基本事实。

常曲率曲面

Gauss曲率为常数的曲面称为常曲率曲面。在Gauss曲率为常数的曲面一节我们已经根据常曲率旋转曲面所满足的微分方程算出它的参数方程。在本节,我们将利用测地坐标系决定常曲率曲面的第一基本形式。由此可见,有相同常Gauss曲率的常曲率曲面在局部上是彼此等距的。

假定曲面S的Gauss曲率K是常数。在曲面S上取测地平行坐标系(u,v),因而它的第一基本形式为

I=(du)2+G(u,v)(dv)2

其中G(u,v)满足条件

G(0,v)=1,   Gu(0,v)=0

根据Gauss曲率K内蕴表达式,我们有

K=1EG[((E)vG)v+((G)uE)u]=1G(G)uu

所以G作为u的函数满足常系数二阶线性齐次方程

(G)uu+KG=0

初始条件是

G(0,v)=1,   (G)u(0,v)=0

齐次方程的特征方程是

λ2+K=0

因此,根据K的不同符号,方程的通解分别为

G={a(v)cos(Ku)+b(v)sin(Ku),   K>0a(v)+b(v)u,   K=0a(v)cosh(Ku)+b(v)sinh(Ku),   K<0

在初始条件下,进一步得到G的微分方程的解为

G={cos(Ku),   K>01,   K=0cosh(Ku),   K<0

因此,Gauss曲率为K的常曲率曲面S的第一基本形式在测地平行坐标系(u,v)下有完全确定的表达式,根据其Gauss曲率K的符号的不同分别为

I={(du)2+cos2(Ku)(dv)2,   K>0(du)2+(dv)2,   K=0(du)2+cosh2(Ku)(dv)2,   K<0

由此得到下面的定理:

定理6.13 有相同常数Gauss曲率K的任意两块常曲率曲面在局部上必定可以建立保长对应。

通过前面各节的讨论可以看出,Gauss的绝妙定理启发我们去研究只具有第一基本形式的一张抽象曲面,而不是放在欧氏空间R3中的一张具体的曲面。换句话说,我们所考虑的曲面是两个变数uv的区域D,并且在D上指定了一个正定的二次微分形式

(ds)2=E(u,v)(du)2+2F(u,v)dudv+G(u,v)(dv)2

称为该抽象曲面上的度量形式。它的几何意义是,抽象曲面在点(u,v)的切向量(du,dv)的长度的平方。抽象曲面在一点(u,v)的两个切向量(du,dv)(δu,δv)的夹角θ余弦是

cosθ=E(u,v)duδu+F(u,v)(duδv+δudv)+G(u,v)dvδvE(du)2+2Fdudv+G(dv)2E(δu)2+2Fδuδv+G(δv)2

曲面上的曲线u=u(t)v=v(t)atb的长度是

abE(dudt)2+2Fdudtdvdt+G(dvdt)2 dt

在1854年,Riemann把Gauss内蕴微分几何的思想一举推广到任意维数n的情形,开创了现在所称的Riemann几何学。于是,Gauss内蕴微分几何学就是二维的Riemann几何学。在这样的抽象曲面上除了计算上面所述的几何量以外,最主要的几何量是Gauss曲率K, 以及曲面上的曲线的测地曲率和曲面上的测地线等等由此可见,在抽象曲面上仍然有丰富的几何学可供研究。

最简单的一类抽象曲面就是常曲率曲面,它的第一基本形式是由它的常数Gauss曲率K完全确定的。非欧几何学的出现是人类思想史的划时代进展。从现代数学的观点来看,从欧氏几何学到非欧几何学的发展实际上就是把平面几何学推广到常曲率曲面上的几何学,更进一步可以推广到一般的Riemann几何学。欧氏几何学和非欧几何学的本质差别在于空间的弯曲程度不同。欧氏空间是平坦的空间,其Gauss曲率K为零。非欧空间是常弯曲的空间,其Gauss曲率K是非零常数。空间的弯曲性质的不同决定了该空间中的直线(即测地线)的性状的不同,从而决定了该空间中的(测地)三角形的内角和的不同。在后面要介绍的Gauss-Bonnet定理将会清晰地揭示这个事实。在本节,我们将进一步讨论常曲率曲面上测地线的性状。

直接计算表明,度量形式

(ds)2=(du)2+(dv)2(1+K4(u2+v2))2

的Gauss曲率为常数K。这个公式把常曲率曲面的度量形式写成统一的表达式,这是Riemann首先给出来的。当K0时,该抽象曲面的定义域是整个uv平面;当K<0时,该抽象曲面的定义域是uv平面上的一个区域

D={(u,v):u2+v2<4K}

K=0,则(ds)2=(du)2+(dv)2,所以这个抽象曲面就是普通的平面,它上面的测地线就是普通的直线。

K>0,则相应的抽象曲面可以看作为,三维欧氏空间E3中半径为1K的球面通过从南极向球面北极处的切平面作球极投影所得的像。具体地说,该投影的表达式是

u=2xKz+1,   v=2yKz+1,   x2+y2+z2=1K

或者反过来得到

x=4u4+K(u2+v2)y=4v4+K(u2+v2)z=1K4K(u2+v2)4+K(u2+v2)

直接计算表明,上面定义的球面的第一基本形式恰好是

(ds)2=(du)2+(dv)2(1+K4(u2+v2))2

在球面上,测地线就是大圆周。很明显,这些大圆周在球极投影下的像是在uv平面上以原点为中心、以2K为半径的圆周C,以及经过圆周C的的任意一对对径点的所有圆周和直线。由此可见,在这个抽象曲面上,任意两条”直线”是彼此相交的。

前面所介绍的伪球面是负常曲率曲面的例子,但是在该曲面上不是所有的测地线都能够无限地延伸的。要给出常数K<0时,区域为D、第一基本形式为(ds)2=(du)2+(dv)2(1+K4(u2+v2))2的抽象曲面(称为Klein圆)的具体模型,在三维欧式空间E3中是做不到的。我们引进所谓的洛伦兹空间L3,其中的点仍然是一组3个有序的实数(x,y,z),但是任意两个向量a=(x1,y1,z1)b=(x2,y2,z2)的内积定义为

ab=x1x2+y1y2z1z2

考虑L3中的曲面

Σ={(x,y,z)L3:x2+y2z2=1K,z>0}

它也可以用参数方程来表示,一种表示方式是所谓的球极投影:将曲面Σ上的任意一点(x,y,z)与点(0,0,1K)连成一条直线,该直线与L3中的平面z=1K交于一点,记为(u,v,1K),称该点为曲面Σ上的点(x,y,z)在球极投影下的像。经直接计算得到

u=2xKz+1,   v=2yKz+1

或者反过来得到

x=4u4+K(u2+v2)y=4v4+K(u2+v2)z=1K4K(u2+v2)4+K(u2+v2)

参数(u,v)的取值范围正好是区域D,而且曲面Σ和区域D在上述球极投影下是一一对应的。对上式求微分得到

dx=4(4+K(u2+v2))du8Kuvdv(4+K(u2+v2))2dy=8Kuvdu+4(4+K(u2v2))dv(4+K(u2+v2))2dz=16K(udu+vdv)(4+K(u2+v2))2

因此,洛伦兹空间L3在曲面Σ上诱导的第一基本形式是

I=16((du)2+(dv)2)(4+K(u2+v2))2=(du)2+(dv)2(1+K4(u2+v2))2

这正好是前面给出的度量形式,即洛伦兹空间L3中具有诱导第一基本形式的曲面Σ是抽象曲面Klein圆(D,(ds)2)的模型。如果把洛伦兹空间L3称为伪欧氏空间,则曲面Σ相当于”伪”球面。实际上,若把洛伦兹空间L3中的点(x,y,z)仍然记成r,则曲面Σ满足方程

rr=1K,   z>0

对上式求微分得到

drr=0

这表明向径r与曲面Σ在洛伦兹内积意义下正交,即向径r是曲面Σ的法向量。用空间L3经过原点的平面Π与曲面Σ相交,设交线的参数方程是r(s),其中s是曲线的弧长参数,那么

dr(s)dsdr(s)ds=1

求导数得到

d2r(s)ds2dr(s)ds=0

因此

dr(s)dsr(s)=0

这说明在同一个平面Π内的向量d2r(s)ds2r(s)同时与该平面内的非零向量dr(s)ds正交,于是曲线r(s)的曲率向量d2r(s)ds2(它的方向向量是主法向量)与曲面Σ的法向量r(s)平行,故曲线r(s)是曲面Σ上的测地线。反过来可以证明,曲面Σ上的测地线就是这样的曲线。在球极投影下,曲面Σ上的测地线成为uv平面内与区域D的边界曲线u2+v2=K4正交的圆弧或直径。很明显,在抽象曲面Klein圆(D,(ds)2)上,经过”直线”外一点可以作无数条”直线”与已知”直线”不相交,这正是非欧几何学的平行公理。

曲面上切向量的平行移动

本节我们要叙述曲面的内蕴微分几何的一个重要的概念,即曲面上的切向量场的协变微分和曲面上的切向量沿曲线的平行移动。为了容易理解起见,我们首先在E3中的曲面上来考虑,然后把这些讨论推广到具有第一基本形式的抽象曲面上去。

协变微分

S是欧式空间E3中的一个曲面,它的参数方程是r=r(u1,u2)。假定X(u1,u2)是定义在曲面S上的一个切向量场,所以它在曲面的自然切标架场{r;r1,r2}下可以表示为

X(u1,u2)=xα(u1,u2)rα(u1,u2)

如果xα(u1,u2)是可微函数,则称切向量场X(u1,u2)是可微的。把X(u1,u2)作为空间E3中定义在曲面S上的向量场,微分dX(u1,u2)是有意义的。从直观上看,dX(u1,u2)是向量场X(u1,u2)在无限邻近的两个点(u1,u2)(u1+du1,u2+du2)的值之差:

dX(u1,u2)=X(u1+du1,u2+du2)X(u1,u2)

上式右端的两个向量有不同的起点,它们能做减法的原因是,向量在欧氏空间E3中能够作平行移动,因而把这两个向量的起点移到同一点后再相减。但是,一般说来,向量dX(u1,u2)不再与曲面S相切了。实际上,对X(u1,u2)求微分得到

dX(u1,u2)=dxαrα+xαdrα=(dxα+xβΓβγαduγ)rα+xαduβbαβn

要从dX(u1,u2)得到曲面S的切向量,只要取dX(u1,u2)的切分量,也就是将dX(u1,u2)S的切空间上作正交投影。

定义6.2DX(u1,u2)=(dX(u1,u2))=(dxα+xβΓβγαduγ)rα ,其中表示将E3中的向量向曲面S(u1,u2)的切空间作正交投影。称DX(u1,u2)为曲面S上的切向量场X(u1,u2)协变微分

Dxα=dxα+xβΓβγαduγ

则协变微分可以表示为

DX(u1,u2)=Dxα rα

我们称Dxα为切向量场X的分量xα(u1,u2)的协变微分。

定理6.14 曲面S上的切向量场X的协变微分在曲面S的保长变换下是保持不变的,即如果σ:SS~是保长对应,则对曲面S上的任意一个可微的切向量场Xσ(DX)=D(σX)

证明 在曲面SS~上取适用的参数系,使得保长对应σ是曲面SS~上有相同参数值的点之间的对应,因而切映射σ把曲面S的自然基底向量映射为S~的对应的自然基底向量。由于切映射σ是线性映射,所以切向量场XσX关于各自的自然基底有相同的分量xα(u1,u2),即

X=xα(u1,u2)rα,   σX=xα(u1,u2)r~α

因为σ是保长对应,故曲面SS~在适用的参数系下有相同的第一类基本量,因而有相同的Christoffel记号Γβγα。根据协变微分的定义式,DXD(σX)关于各自的自然切标架场有相同的分量,因此

DX=(dxα+xβΓβγαduγ)rα D(σX)=(dxα+xβΓβγαduγ)r~α=σ(DX)

证毕∎

定理6.14可知,切向量场X的协变微分是属于曲面的内蕴几何的概念,与曲面的第二基本形式无关。

实际上,在具有第一基本形式的抽象曲面S上能够定义可微的切向量场X(u1,u2)=xα(u1,u2)rα(u1,u2)的协变微分

DX(u1,u2)=(dxα+xβΓβγαduγ)rα

其中Γβγα是曲面S的第一类基本量的Christoffel记号。

定理6.15 曲面S上的可微切向量场的协变微分有下列运算法则:
(1) D(X+Y)=DX+DY
(2) D(fX)=dfX+fDX
(3) d(XY)=DXY+XDY
其中XY是曲面S上的可微切向量场,f是定义在曲面S上的可微函数。

定理6.15说明,协变微分D具有普通微分d所具有的相同的运算法则。

协变导数

C:uα=uα(t)是曲面S上的一条曲线,假定X(t)是曲面S上沿曲线C定义的一个切向量场。先假定S是空间E3中的一张曲面,那么dX(t)dt是空间E3中沿曲线C定义的一个向量场,一般说来,它不是曲面S上沿曲线C定义的切向量场。要从dX(t)dt得到曲面S上沿曲线C定义的切向量场,只要将它正交投影到曲面S在相应的点的切空间就行了。

定义6.3DX(t)dt=(dX(t)dt) ,我们把DX(t)dt称为曲面S上沿曲线C定义的切向量场X(t)沿曲线C协变导数

若设

X(t)=xα(t)rα(u1(t),u2(t))

则有

dX(t)dt=dxα(t)dtrα+xα(t)rαuγduγ(t)dt=(dxα(t)dt+Γβγαxβ(t)duγ(t)dt)rα+bαγxα(t)duγ(t)dtn

因此

DX(t)dt=(dX(t)dt)=(dxα(t)dt+Γβγαxβ(t)duγ(t)dt)rα

若命

Dxα(t)dt=dxα(t)dt+Γβγαxβ(t)duγ(t)dt

DX(t)dt=Dxα(t)dtrα

我们把Dxα(t)dt称为沿曲线C定义的切向量场X(t)的分量xα(t)沿曲线C的协变导数。

DX(t)dt的表达式得知,若在具有第一基本形式的抽象曲面S上沿曲线C定义了切向量场X(t),则我们就能够定义它沿曲线C的协变导数。协变导数DX(t)dt在曲面S的保长变换下是不变的,并且协变导数算子Ddt具有定理6.15所叙述的运算法则。

类似地,如果曲面S上的可微切向量场X(u1,u2)的分量是xα(u1,u2),则同样可以定义它沿参数曲线的协变导数

x,γα=xα(u1,u2)uγ+Γβγαxβ(u1,u2)

于是分量xα(u1,u2)的协变微分成为

Dxα=x,γαduγ

平行移动

定义6.4X(t)是曲面S上沿曲线C:uγ=uγ(t)定义的可微切向量场。如果DX(t)dt=0,则称切向量场X(t)沿曲线C平行的。

由协变导数的定义可知,切向量场X(t)沿曲线C平行的充分必要条件是,它的分量xα(t)满足常微分方程组

dxα(t)dt+Γβγαxβ(t)duγ(t)dt=0

这是一阶线性齐次常微分方程组。根据常微分方程组理论,对于给定的可微曲线C:uγ=uγ(t)atb,以及任意给定的初始值x0α,方程组在区间[a,b]上有唯一的一组解xα=xα(t)使得xα(t0)=x0α,其中t0是区间[a,b]中的任意一个固定点。我们把沿曲线C定义的切向量场

X(t)=xα(t)rα(u1(t),u2(t))

称为曲面S在点r0=r(u1(t0),u2(t0))处的切向量X0=x0αrα(u1(t0),u2(t0))沿曲线C平行移动产生的向量场。

因为常微分方程组是一阶线性齐次常微分方程组,所以它的解的全体构成一个向量空间,该向量空间与曲面S在点r0处的切空间线性同构。用几何的语言说,上述性质表明:曲面S上的切向量沿可微曲线C的平行移动在曲面S沿曲线C各点的切空间之间建立了线性同构。另外,根据定理6.15(3),如果X(t)Y(t)是曲面S上沿曲线C平行的切向量场,则

ddt(X(t)Y(t))=DX(t)dtY(t)+X(t)DY(t)dt=0

这意味着X(t)Y(t)是常数,即切向量沿曲线C的平行移动保持切向量的内积不变。特别地,切向量沿曲线C的平行移动保持切向量的长度不变。综上所述,我们有下面的定理:

定理6.16C:uγ=uγ(t)atb是曲面S上连接点A=(u1(a),u2(a))和点B=(u1(b),u2(b))的一条可微曲线。用Pab表示曲面S上的切向量沿曲线Ct=at=b的平行移动,则 Pab:TASTBS 是从切空间TAS到切空间TBS的等距同构。

从协变导数的定义6.3可以直接得到下面的定理,它为构造曲面上的切向量沿曲线的平行移动提供了一条有效途径。

定理6.17 设空间E3中两个曲面S1S2相切,曲面S1S2沿曲线C:uγ=uγ(t)的协变导数算子分别记为D(1)dtD(2)dt。设X(t)是这两个曲面沿曲线C定义的切向量场,则D(1)X(t)dt=D(2)X(t)dt。特别是,如果X(t)作为曲面S1上沿曲线C的切向量场是平行的,则它作为曲面S2上沿曲线C的切向量场也是平行的。

一般来说,当切向量在曲面S上沿一条封闭曲线平行移动一周时所得到的切向量与原切向量未必是重合的。这是弯曲曲面上的几何学与欧氏平面几何学的本质差别。

在有了协变导数的概念之后,曲线的测地曲率的表达式和平面曲线的相对曲率的表达式就统一起来了。设曲面S上的曲线C的参数方程是uγ=uγ(s),其中s是弧长参数,则曲线C的测地曲率是

κg=d2rds2e2(s)=De1(s)dse2(s)=g11g22(g12)2|du1dsdu2dsDds(du1ds)Dds(du2ds)|

对于在笛卡儿直角坐标系下的平面R2,其协变导数Dds就是普通导数dds,于是上面的公式称为平面R2上曲线C的相对曲率κr的公式。

特别地,测地线的微分方程成为

Dds(dr(s)ds)=0

或者

Dds(duαds)=0

所以,曲面S上的测地线C就是其单位切向量在曲面S上沿该曲线C自身平行的曲线,或者说曲面S上的测地线C就是该曲面S上的自平行曲线。在平面上,直线可以描述为其切方向不变的曲线。因此,在这个意义上,曲面上的测地线的概念也是平面上的直线概念的推广。

抽象曲面

在本章已经对于抽象曲面片上的微分几何进行了研究。具体地讲,所谓的抽象曲面片是指二维欧氏空间E2中的一个开区域D,并且在其中给定了一个正定的二次微分形式

I=gαβduαduβ

其中求和指标αβ取值为α,β=1,2gαβ=gβαD上的光滑函数,并且矩阵(gαβ)D内是处处正定的。它就是熟知的曲面的第一基本形式,或称为度量形式,其几何意义是分量为(du1,du2)的切向量的长度平方。所谓的在抽象曲面片(D,I)上的微分几何是指在本章中所论述的只与第一基本形式有关的几何量和几何概念,例如Gauss曲率K,区域D中一条曲线的长度和测地曲率,区域D中曲线长度的变分公式及测地线测地坐标系和法坐标系,区域D内的切向量沿一条光滑曲线的平行移动,等等。

需要指出的是,在本章前面的叙述中,往往是从三维欧氏空间E3中一张”具体的”参数曲面片出发,分析出那些不依赖曲面的第二基本形式、而只与曲面的第一基本形式有关的几何量和几何概念,因此在引入这些概念的过程中显得有点繁杂,而不是那么直截了当的。在另一方面,我们还只局限千一个坐标域内,即局限在一个曲面片上,缺乏对于抽象曲面的整体性的描述和了解。因此,在这一节,我们首先要引进整体的抽象曲面的概念,然后讨论该抽象曲面上的几何概念和几何性质。

二维流形

定义3.1得到启发,所谓的整体的抽象曲面是一些参数曲面片粘合的结果,要求两个参数曲面片(Ui;(ui1,ui2))(Uj;(uj1,uj2))在其交集UiUj的情况下,坐标变换

uiα=uiα(uj1,uj2),   ujα=ujα(ui1,ui2),   α=1,2

都是C函数,并且坐标变换的Jacobi矩阵 (ui1uj1ui2uj1ui1uj2ui2uj2) 以及 (uj1ui1uj2ui1uj1ui2ui2ui2) 都是可逆矩阵,并且互为逆矩阵。

更为正式的定义是:设M是一个拓扑空间(因而在M中有开集的结构,以及连续函数和连续映射的概念)。如果对于每一点pM都存在点p的一个开邻域UR2中的一个开区域D, 以及从DU的同胚φ:DU(即φ是从DU的一一对应,并且φ以及它的逆映射都是连续的),则称M是一个二维拓扑流形。这里的(U,φ)称为M的一个坐标卡。对于任意一点pU,命

uα(p)=(φ1(p))α,   α=1,2

则称(u1(p),u2(p))为点p的坐标,而称(U;(u1,u2))M的一个坐标系。

假定M是一个二维拓扑流形。如果存在M的坐标卡组成的一个集合{(Ui,φi):iI},使得

(1) {Ui:iI}M的一个开覆盖;
(2) 对于任意的i,jI,当UiUj时,要求映射φj1φi:φi1(UiUj)φj1(UiUj)φi1φj:φj1(UiUj)φi1(UiUj)都是C的;

则称M是一个二维光滑流形

映射φj1φi正是前面所说的坐标变换。实际上,对于任意的pUiUj,我们有

φj1φi(ui1(p),ui2(p))=φj1φi(φi1(p))=φj1(p)=(uj1(p),uj2(p))

切向量

对于E3的曲面而言,切向量是一个十分直观的概念。对于二维光滑流形来说,切向量的概念引进却颇费周折。我们采取以下的定义:设pM,所谓M在点p的一个切向量v是指在包含点p的每一个容许的坐标卡(Ui,φi)下,v对应于一组数(vi1,vi2),并且当(Ui,φi)(Uj,φj)是包含点p的任意两个容许的坐标卡时,对应的数组(vi1,vi2)(vj1,vj2)满足以下的关系式:

vjα=viβujαuiβ|p,   α=1,2

这里,α,β=1,2是求和指标,ij是标记不同坐标卡的记号,不做求和用,以下都遵从这样的规定。换言之,切向量在各个坐标卡下对应的数组之间是线性变换关系,而该线性变换的矩阵恰好是坐标变换的Jacobi矩阵。

二维光滑流形M在点p的切向量v能够解释为在点p的微分算子v:CpR,这里Cp是指在点p的某个开邻域有定义、并且有各阶连续可微偏导数的函数的集合,该微分算子的定义是

v(f)=viα(fφi)uiα|φi1(p),   fCp

上述定义与含有点p的容许坐标卡(Ui,φi)的选择无关。实际上,若(Uj,φj)是另一个含有点p的容许坐标卡,则根据求偏导数的链式法则得到

vjα(fφj)ujα|φj1(p)=vjα((fφi)(φi1φj))ujα|φj1(p)=vjα(fφi)uiβ|φi1(p)(φi1φj)βujα|φj1(p)=viβ(fφi)uiβ|φi1(p)

不难验证,微分算子v:CpR遵从以下两个法则:

(1) v(f+λg)=v(f)+λv(g)
(2) v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f)f,gCpλR

值得指出的是,若(Ui,φi)M的一个坐标卡,则在Ui上定义好了两个向量场uiα:C(Ui)C(Ui)α=1,2,它们的定义是

uiα(f)=(fφi)uiα,   fC(Ui)

很明显,这两个切向量场是处处线性无关的。实际上在坐标卡(Ui,φi)下,向量场ui1对应于数组(1,0),向量场ui2对应于数组(0,1)。因此,{p;ui1|p,ui2|p}是坐标域Ui内的标架场,称为Ui上的自然标架场。

度量形式

所谓的在二维光滑流形上M的一个度量形式g是指对于M的任意一个容许坐标卡(Ui,φi)gUi上的限制是一个正定的二次微分形式

g|Ui=gαβ(i)duiαduiβ

其中gαβ(i)C(Ui),且gαβ(i)=gβα(i),矩阵(gαβ(i))Ui上是处处正定的。如果(Uj,φj)是另一个容许坐标卡,且UiUj,则在交集UiUj上有

g|UiUj=gαβ(i)duiαduiβ=gγδ(j)dujγdujδ=gγδ(j)ujγuiαujδuiβduiαduiβ

这里的gγδ(j)ujγuiαujδuiβ关于下指标αβ显然是对称的,因此有

gαβ(i)=gγδ(j)ujγuiαujδuiβ,   α,β=1,2

由此可见,M上的度量形式g实际上是在任意一个容许坐标卡(Ui,φi)下指定了一个由定义在区域Ui上的光滑函数构成的、对称的正定矩阵(gαβ(i)),并且当另一个容许坐标卡(Uj,φj)适合条件UiUj时,相应的gαβ(i)gγδ(j)UiUj上满足双重线性变换的关系式

gαβ(i)=gγδ(j)ujγuiαujδuiβ,   1α,β2

我们把具有上述结构的量g称为2阶协变张量。

如在一个二维光滑流形M上指定了一个度量形式g,则称(M,g)是一个二维黎曼流形,这就是我们所要研究的抽象曲面。很明显,这种抽象曲面(M,g)就是一些抽象曲面片(或参数曲面片)粘合的结果。在这里,度量形式g有明确的几何意义:设vM在点p的一个切向量,(Ui,φi)是包含点p的一个容许坐标卡,假定v对应于数组(vi1,vi2),而g|Ui=gαβ(i)duiαduiβ,命

g|p(v,v)=gαβ(i)|pviαviβ

则上式右端与坐标卡(Ui,φi)的选取无关,记g|p(v,v)=|v|2

实际上,若有另一个容许坐标卡(Uj,φj),使得pUj,则v对应于数组(vj1,vj2),而g|Uj=gγδ(j)dujγdujδ,那么

vjγ=viαujγuiα|p,   gαβ(i)|p=gγδ(j)|pujγuiα|pujδuiβ|p

因此

gγδ(j)|pvjγvjδ=gγδ(j)|p ujγuiα|p ujδuiβ|pviαviβ=gαβ(i)|pviαviβ

很明显,度量形式g在坐标卡(Ui,φi)下的矩阵(gαβ(i))正好是自然标架场{p;ui1|p,ui2|p}的度量系数,即

gαβ(i)=g|Ui(ui1,ui2)

抽象曲面上的几何学

假定(M,g)是一个抽象曲面,即(M,g)是一个二维黎曼流形。本节的目标是考察在(M,g)上有哪些几何内容可以进行研究。

在(M, g)中的光滑曲线的长度

γ:[a,b]M(M,g)中的一条光滑曲线,它的切向量γ(t)是沿曲线γ(t)定义的切向量场。实际上,若有[t0,t1][a,b]使得曲线段γ|[t0,t1]落在容许坐标卡(Ui,φi)内,命

uiα(t)=uiα(γ(t))=(φi1(γ(t)))α,   t0tt1

γ(t)|[t0,t1]的分量是(dui1(t)dt,dui2(t)dt)。若有另一个容许坐标卡(Uj,φj)使得γ|[t0,t1]落在Uj内,则γ(t)|[t0,t1]的相应分量成为(duj1(t)dt,duj2(t)dt)。但是

ujα(t)=(φj1(γ(t)))α=((φj1φi)(φi1(γ(t))))α=(φj1φi)α(ui1(t),ui2(t))

因此

dujα(t)dt=ddt((φj1φi)α(ui1(t),ui2(t)))=(φj1φi)αuiβduiβ(t)dt=ujαuiβduiβ(t)dt

即分量(duj1(t)dt,duj2(t)dt)与分量(dui1(t)dt,dui2(t)dt)在坐标变换时满足切向量分量的线性变换规律,所以它们代表M中的切向量,记为γ(t),称为曲线γ的切向量。

我们也能把γ(t)看作微分算子γ(t):Cγ(t)R。实际上,若fCγ(t),则

(γ(t))(f)=d(fγ(t))dt

也就是首先把函数f限制在曲线γ(t)上,成为定义在区间[t0,t1]上的光滑函数fγ,再求它的导数,此即上式的右端。若曲线段γ|[t0,t1]落在容许坐标卡(Ui,φi)内,则

d(fγ(t))dt=d(fφi(φi1γ(t)))dt=d(fφi(ui1(t),ui2(t)))dt=(fφi)uiαduiα(t)dt=duiα(t)dtuiα(f)

γ(t)|Ui=duiα(t)dtuiα|γ(t)

现在,曲线γ:[a,b]M的长度定义为

L(γ)=ab|γ(t)| dt=abg(γ(t),γ(t)) dt

上式右端与曲线的参数选择是无关的。若有一个保持曲线定向的参数变换t=t(s)t(s)>0csd,那么曲线γ的新的参数方程成为γ~(s)=γ(t(s)),于是γ~(s)作为微分算子成为

(γ~(s))(f)=d(f(γ(t(s))))ds=ddt(fγ(t))d(t(s))ds=d(t(s))dsγ(t)(f)

γ~(s)=dt(s)dtγ(t)

这样,我们有

|γ~(s)|=|t(s)γ(t)|=|γ(t)|t(s)

所以

cd|γ~(s)| ds=cd|γ(t)|t(s) ds=ab|γ(t)| dt

故它与曲线的保持定向的参数变换无关。

对于(M,g)中的光滑曲线γ:[a,b]M,命

s=s(t)=at|γ(t)| dt

0sL(γ),且s(t)=|γ(t)|>0。将s看作曲线γ的新参数,即γ(t)=γ~(s(t)),则

γ(t)=ddtγ~(s(t))=γ~(s)ds(t)dt=γ~(s)|γ(t)|

|γ~(s)|=1。这样,

L(γ|[a,t])=L(γ~[0,s])=0s|γ~(s)| ds=s

我们把s称为曲线γ的弧长参数。

(M, g)上的一个紧致闭区域的面积

A是拓扑空间X的一个子集。如果对于A的任意一个开覆盖,必有它的一个有限子覆盖,则称AX的紧致子集。Rn中的有界闭子集必定是紧致的。紧致性概念是Rn中有界闭子集概念的抽象化。X中的闭区域D是指X的一个连通开子集的闭包。

M是一个二维光滑流形。如果存在M的一个容许坐标卡集{(Ui,φi):iI~},使得iI~Ui=M,并且当UiUj时,坐标变换的Jacobi行列式(ui1,ui2)(uj1,uj2)UiUj上总是处处为正的,则称M是可定向的,且称这样的一个坐标卡集{(Ui,φi):iI~}给出了M的一个定向。

现在假设D是有向的二维黎曼流形(M,g)的一个紧致闭区域。若有属于M的定向的容许坐标卡(Ui,φi),使得DUi,定义

A(D)=φi1g11(1)g22(1)(g12(1))2 dui1dui2

上式右端的数值与坐标卡(Ui,φi)的选择无关。实际上,若有另一个属于M的定向的容许坐标卡(Uj,φj),使得DUj,则(ui1,ui2)(uj1,uj2)>0,并且由度量形式的双重线性变换关系式得到

(g11(i)g12(i)g21(i)g22(i))=(uj1ui1uj2ui1uj1ui2uj2ui2)(g11(j)g12(j)g21(j)g22(j))(uj1ui1uj1ui2uj2ui1uj2ui2)

因此

g11(i)g22(i)(g12(i))2=(g11(j)g22(j)(g12(j))2)((uj1,uj2)(ui1,ui2))2 g11(i)g22(i)(g12(i))2=g11(j)g22(j)(g12(j))2(uj1,uj2)(ui1,ui2)

根据2重积分变量替换原理,我们有

φj1(D)g11(j)g22(j)(g12(j))2 duj1duj2=φi1(D)g11(j)g22(j)(g12(j))2(uj1,uj2)(ui1,ui2) dui1dui2=φi1(D)g11(i)g22(i)(g12(i))2 dui1dui2

因为DM的紧致闭区域,于是D可以分割成有限多个子区域的并集D=α=1NDα,使得每一个Dα落在属于M的定向的某个容许坐标卡(Ui,φi)内(确切的做法要用到单位分解定理,在这里略过,不细说了)。令

A(D)=α=1NA(Dα)

称为闭区域D的面积。

(M, g)上的切向量场的协变微分

在抽象曲面(M,g)上,切向量场X本身就是定义在M上的光滑函数的微分算子X:C(M)C(M)。实际上,切向量场是指以光滑地依赖于点的方式在每一点指定一个切向量。对于任意的fC(M)X(f)也是M上的光滑函数,其定义是对于任意一点pM(X(f))(p)=(X(p))(f)。下一个重要的数学结构应该是定义在抽象曲面M上的切向量场Y沿另一个切向量场X的导数DXY,称为协变导数。叙述它的定义的时候,我们需要把欧氏空间中切向量场沿另一个切向量场求导的法则作为参照的对象,因此要求所引进的协变导数应该遴从以下的规则:设XYZ是定义在M上的任意的光滑切向量场,fC(M),则

(1) DfXY=fDXYDX+ZY=DXY+DZY

(2) DX(fY)=X(f)Y+fDXYDX(Y+Z)=DXY+DXZ

(3) X(g(Y,Z))=g(DXY,Z)+g(Y,DXZ)

其中(1),(2)两条说明D是微分算子,第(3)条说明协变导数与度量形式(即向量内积)的关系。

现在假定(U,φ)M的一个容许坐标卡,我们的目标是求协变导数D在该坐标卡下可能的表达式。在这里,为了简单起见,省略了坐标卡的标识记号,以后在用到两个以上的坐标卡时再恢复标识记号。设

X|U=Xαuα,   Y|U=Yβuβ,   Z|U=Zγuγ g(Y,Z)|U=gβγYβZγ

那么,按照求协变导数的法则得到

DXY|U=DXαuα(Yβuβ)=Xα(Yβuαuβ+YβDuαuβ)

如果假定

Duαuβ=Γβαγuγ

DXY|U=Xα(Yγuα+YβΓβαγ)uγ

由此可见,求得DXY|U在局部坐标系(U;uα)下表达式的关键是求出系数Γβαγ

由协变导数应该遵循的规则(3)得到

gβγuα=uα(g|U(uβ,uγ))=g|U(Duαuβ,uγ)+g|U(uβ,Duαuγ)=g|U(Γβαδuδ,uγ)+g|U(uβ,Γγαδuδ)=Γβαδgδγ+Γγαδgβδ

如果假定系数Γαβγ关于下指标αβ是对称的,即Γβαγ=Γαβγ,则容易唯一地确定系数Γαβγ的表达式是

Γαβγ=12gδγ(gαδuβ+gδβuαgαβuδ)

称为由度量矩阵(gαβ)决定的Christoffel记号,其中(gαβ)是指矩阵(gαβ)的逆矩阵,即满足关系式gαγgγβ=δβαα,β=1,2

现在,在(M,g)的每一个容许坐标卡(Ui,φi)下,由度量矩阵(gαβ(i))决定了Christoffel记号Γαβ(i)γ。若有另一个容许坐标卡(Uj,φj),且UiUj,则在UiUj上的Christoffel记号Γαβ(i)γΓαβ(j)γ之间有一定的联系。注意到,度量矩阵(gαβ(i))(gαβ(j))在坐标变换下满足关系式

gαβ(j)=gγδ(i)uiγujαuiδujβ

容易得到

gαβ(j)ujαuiγ=gγδ(i)uiδujβ,   g(i)γδ=g(j)αβuiγujαuiδujβ

对前面的关系式求导得到

gαβ(j)ujγ=gξζ(i)uiηuiηujγuiξujαuiζujβ+gξζ(i)2uiξujαujγuiζujβ+gξζ(i)uiξujα2uiζujβujγ

将上式的指标αβγ轮换,并且带入Christoffel记号Γαβ(j)γ的表达式得到

Γαβ(j)γ=Γξζ(i)ηuiξujαuiζujβuiγujη+2uiηujαujγuiγujη Γαβ(j)γuiηujγ=Γξζ(i)ηuiξujαuiζujβ+2uiηujαujγ

XYM上的两个光滑切向量场,它们限制在UiUj上是

X|UiUj=Xiαuiα=Xjβujβ=Xjβuiαujβuiα Y|UiUj=Yiαuiα=Yjβujβ=Yjβuiαujβuiα

所以

Xiα=Xjβuiαujβ,   Yiα=Yjβuiαujβ

我们要证明在UiUj上有

Xiα(Yiβuiα+YiγΓγα(i)β)uiβ=Xjα(Yjβujα+YjγΓγα(j)β)ujβ

实际上,

Xiα(Yiβuiα+YiγΓγα(i)β)uiβ=Xiα(uiα(Yjξuiβujξ)+YjξuiγujξΓγα(i)β)ujηuiβujη=Xiα(Yjξujζujζuiαδξη+Yjξ(2uiβujξujζujηuiβujζuiα+Γγα(i)βujηuiβuiγujξ))ujη=Xiα(Yjηujζujζuiα+Yjξujζuiα(Γξζ(j)ηΓνλ(i)μuiνujξuiλujζuiηujμ)+YjξΓγα(i)βujηuiβuiγujξ)ujη=Xiαujζuiα(Yjηujζ+YjξΓξζ(j)η)ujη=Xjζ(Yjηujζ+YjξΓξζ(j)η)ujη

由此可见,利用Christoffel记号表达式Xiα(Yiβuiα+YiγΓγα(i)β)uiβ与坐标卡(Ui,φi)的选取无关,所以它是大范围地定义在M上定义好的切向量场,记为DXY,它在Ui上的限制是

DXY|Ui=Xiα(Yiβuiα+YiγΓγα(i)β)uiβ

容易验证,DXY遵循前面所提到的三条法则,称为切向量场Y沿X的协变导数,并且把

DY=(dYiβ+YiγΓγα(i)βduiα)uiβ

叫作Y的协变微分。

对比前面协变微分的定义知道,此处切向量场的协变微分公式和前面是一致的。不过之前引进切向量场的协变微分是通过”外在的途径”,在这里则是完全采用内在的方式,不涉及曲面的外在形状。

切向量沿光滑曲线的平行移动

这一段内容是曲面上切向量的平行移动的重复,不多赘述了,只是提及主要的定义和公式。

γ:[a,b]M(M,g)中的一条光滑曲线,XM上的一个光滑切向量场。假定曲线γ落在坐标卡(U,φ)内,设γ的参数方程是uα=uα(t)α=1,2,故γ(t)=duα(t)dtuα|γ(t)。设X(t)=X|γ(t)=Xα(t)uα|γ(t)。那么

Dγ(t)X(t)=Dγ(t)(Xα(t)uα|γ(t))=(dXγ(t)dt+Xα(t)duβ(t)dtΓαβγ(γ(t)))uγ|γ(t)

如果Dγ(t)X(t)=0,则X(t)称沿曲线γ是平行的。该条件等价于分量Xα(t)满足微分方程

dXγ(t)dt+Xα(t)duβ(t)dtΓαβγ(γ(t))=0,   α=1,2

容易证明上述条件与曲线γ的参数选择无关。另外,如果X(t)沿曲线γ是平行的,则

ddt(g(X(t),X(t)))=γ(t)(g(X(t),X(t)))=g(Dγ(t)X(t),X(t))+g(X(t),Dγ(t)X(t))=0

由此可见,沿曲线γ(t)平行的切向量场X(t)的长度是常数。

(M, g)中曲线的测地曲率

γ:[0,L]M是有向抽象曲面(M,g)中的一条以弧长s为参数的光滑曲线,那么g(γ(s),γ(s))=1,于是

0=dds(g(γ(s),γ(s)))=2g(Dγ(t)γ(s),γ(s))

由此可见,Dγ(t)γ(s)γ(s)。若命e1(s)=γ(s)e2是将e1按曲面的正定向旋转90°得到的单位切向量,则可以命

Dγ(t)γ(s)=κg(s)e2(s)

因此,

κg(s)=g(Dγ(t)γ(s),e2(s))

称为曲线γ(s)的测地曲率。

假定曲线γ:[0,L]M落在容许坐标卡(U,φ)内,设γ(s)的参数方程是uα=uα(s)α=1,2,于是γ的切向量是γ(s)=duα(s)dsuα。假定e2(s)=vα(s)uα,则下面的条件成立

gαβvαvβ=1,   gαβvαduβ(s)ds=0

从上面第二式得到

vαgα1du1(s)ds+vαgα2du2(s)ds=0

所以

(vαgα1,vαgα2)=λ(du2(s)ds,du1(s)ds)

考虑到{e1(s),e2(s)}给出了曲面M的定向,所以λ>0。注意到

Dγ(s)γ(s)=(d2uα(s)ds2+duβ(s)dsduγ(s)dsΓβγα(γ(s)))uα|γ(s)

带入测地曲率定义式得到

κg(s)=gα1vα(d2u1(s)ds2+duβ(s)dsduγ(s)dsΓβγ1(γ(s)))+gα2vα(d2u2(s)ds2+duβ(s)dsduγ(s)dsΓβγ2(γ(s)))=λ[(d2u1ds2+duβdsduγdsΓβγ1)du2ds+(d2u2ds2+duβdsduγdsΓβγ2)du1ds]

κg(s)=λ|du1dsd2u1ds2+duβdsduγdsΓβγ1du2dsd2u2ds2+duβdsduγdsΓβγ2|

下面来决定系数λ。首先,(vαgα1,vαgα2)=λ(du2(s)ds,du1(s)ds)可以改写成为

(v1,v2)(g11g12g21g22)=λ(du2ds,du1ds)

因此

(v1,v2)=λg11g22(g12)2(du2ds,du1ds)(g22g12g21g11)=λg11g22(g12)2(g2αduαds,g1αduαds)

于是,gαβvαvβ=1成为

1=(vαgα1,vαgα2)(v1v2)=λ2g11g22(g12)2(du2(s)ds,du1(s)ds)(g2αduα(s)dsg1αduα(s)ds)=λ2g11g22(g12)2gαβduα(s)dsduβ(s)ds=λ2g11g22(g12)2

λ=g11g22(g12)2。所以,光滑曲线γ的测地曲率是

κg=g11g22(g12)2|du1dsd2u1(s)ds2+duβ(s)dsduγ(s)dsΓβγ1du2dsd2u2(s)ds2+duβ(s)dsduγ(s)dsΓβγ2|

这样,我们通过内在的途径重新获得了测地曲率的公式。

(M, g)中的测地线

抽象曲面(M,g)中的测地线就是测地曲率κg为零的曲线,即其单位切向量沿该曲线γ(s)本身是平行的曲线。所以,测地线满足微分方程

d2uα(s)ds2+duβ(s)dsduγ(s)dsΓβγα(γ(s))=0,   α=1,2

抽象曲面的曲率

(M,g)是一个抽象曲面实际上它是一个二维的弯曲空间。为此,需要知道空间的”弯曲”指的是什么?

(M,g)上已经定义了切向量场的协变微分算子D。当(M,g)是欧式平面时,在M上可以取笛卡尔直角坐标系(u1u2),此时{p;u1|p,u2|p}是在M上在平行移动下彼此合同的单位正交标架场,故u1u2是在M上大范围平行的切向量场,于是

Duαuβ=0,   α,β=1,2

XM上的光滑切向量场,设为X=Xαuα,则

DuαX=Xγuαuγ DuβDuαX=2Xγuαuβuγ

因此

DuβDuαXDuαDuβX=(2Xγuαuβ2Xγuβuα)uγ=0

在一般的抽象曲面(M,g)上取一个容许坐标卡(U,φ),则有

Duβuγ=Γγβδuδ DuαDuβuγ=Γγβδuαuδ+ΓγβδΓδαμuμ=(Γγβδuα+ΓγβμΓμαδ)uδ

所以

DuαDuβuγDuβDuαuγ=(ΓγβδuαΓγαδuβ+ΓγβμΓμαδΓγαμΓμβδ)uδ

Rγβαδ=ΓγβδuαΓγαδuβ+ΓγβμΓμαδΓγαμΓμβδ

注意到这个量的表达式和前面介绍的Riemann记号是一样的,称为度量形式g的Riemann记号。重要的是,当坐标卡变换时,它是按照4重线性变换的规律进行变换的,因此它是否等于零与坐标卡的选择无关。由此可见,在欧氏平面上取笛卡儿直角坐标系时这个量显然是零,而在欧氏平面上取一般的曲纹坐标系时,这个量也恒等于零。这就是说,这个量是否为零是判断该抽象曲面是不是欧氏平面的特征。我们把这个Riemann记号称为抽象曲面的曲率张量,它在不同坐标卡下的变换公式为

Rγβα(i)δujξuiδ=Rζημ(j)ξujζuiγujηuiβujμuiα

下面我们要导出曲率张量Rγβα(i)δ用度量张量gαβ(i)表示的更为直接的表达式,并且得到它的一些对称性质。为了简便起见,省略坐标卡的标识记号i,在容许坐标卡(U,φ)内考虑。命

Rγδαβ=gδηRγαβη,   Γδαβ=gδηΓαβη

Rγαβδ=gδηRγηαβ,   Γαβδ=gδηΓηαβ

注意:在曲率张量Rγαβδ的上指标落下来的时候,放在下指标的第二个位置。这只是我们的规定,没有本质的意义。因此有

gαβuγ=Γαβγ+Γβαγ

所以

Γδαβ=12(gαδuβ+gδβuαgαβuδ)

由Riemann记号的定义式得到

Rγδβα=gδμΓγβμuαgδμΓγαμuβ+ΓγβμΓδμαΓγαμΓδμβ=ΓδγβuαΓδγαuβΓγβμgδμuα+Γγαμgδμuβ+ΓγβμΓδμαΓγαμΓδμβ=12(2gβδuγuα+2gγαuδuβ2gαδuγuβ2gβγuδuα)ΓγβμΓμδβ+ΓγαμΓμδβ

由此可见,带四个下指标的曲率张量有下列对称性:

Rγδβα=Rγδαβ=Rδγβα=Rβαγδ

所以,带四个下指标的曲率张量只有一个实质性的分量R1212

现在回到两个容许坐标卡(Ui,φi)(Uj,φj)的情形,设UiUj,则在UiUj上有

Rγβα(i)δ=Rζημ(j)ξujζuiγujηuiβujμuiαuiδujξ Rγδβα(i)=Rζημ(j)ξujζuiγujηuiβujμuiαuiνujξ gδν(i)=Rζημ(j)ξujζuiγujηuiβujμuiαujνuiξ gξν(j)=Rζνημ(j)ujζuiγujνuiδujηuiβujμuiα

因此

R1212(i)=Rζνημ(j)ujζui1ujνui2ujηui1ujμui2=R1212(j)(uj1ui1uj2ui2uj2ui1uj1ui2)2

另一方面,两个坐标卡的度量形式满足

(g11(i)g12(i)g21(i)g22(i))=(uj1ui1uj2ui1uj1ui2uj2ui2)(g11(j)g12(j)g21(j)g22(j))(uj1ui1uj1ui2uj2ui1uj2ui2)

两边取它们的行列式得到

g11(i)g22(i)g12(i)g21(i)=(g11(j)g22(j)g12(j)g21(j))(uj1ui1uj2ui2uj2ui1uj1ui2)2

将上式与曲率张量相除得到

K=R1212(i)g11(i)g22(i)g12(i)g21(i)=R1212(j)g11(j)g22(j)g12(j)g21(j)

由此可见K与容许坐标卡的选取无关,因而它是定义在整个抽象曲面(M,g)上的几何量,称为(M,g)的曲率,实际上它就是曲面的Gauss曲率。

Gauss-Bonnet公式

欧氏平面上的平行公设等价于”三角形的内角和等于180°”,或者”三角形的外角和等于360°”。在Klein圆内,欧氏几何的平行公理不再成立,与之等价的是测地三角形的内角和不再等于180°,或者测地三角形的外角和不再等于360°,原因是Klein 圆不再是平坦的空间,它有非零的曲率(事实上,它的Gauss曲率是负常数)。对于一般的曲面测地三角形的内角和(或者外角和)如何?这是本节要研究的问题。我们先讨论一般的Gauss-Bonnet公式,然后将它用于测地三角形,得到测地三角形的外角和的公式。

平面曲线一节中我们巳经叙述过平面上分段光滑的简单闭曲线的概念。现在假定C是曲面S:r=r(u1,u2)上的一条曲线,它的参数方程是u1=u1(s)u2=u2(s),其中s是弧长参数,0sL。如果函数uα(s)是连续的,并且区间[0,L]有一个分割0=s0<s1<<sn=L,使得函数uα(s)在每一个小区间(si1,si)内部是光滑的,则称C是分段光滑曲线,而s=s1,,sn1称为曲线C的角点。如果uα(0)=uα(L)α=1,2,则称曲线C是封闭曲线。一般说来,端点s=s0sn也是封闭曲线C的角点。如果曲线C除了端点外没有其他自交点,即对于任意的0a<b<L都有r(a)r(b)则称该曲线是简单的。如果C是光滑的简单封闭曲线,则有

limssi0r(s)=limssi+0r(s),   1in1 limsL0r(s)=lims0+0r(s)

定理6.18 (Gauss-Bonnet公式) 假定曲线C是有向曲面S上的一条由n段光滑曲线组成的分段光滑简单闭曲线,它所包围的区域D是曲面S的一个单连通区域,则 Cκg ds+DK dσ=2πi=1nαi 其中κg是曲线C的测地曲率,K是曲面S的Gauss曲率,αi表示曲线C在角点s=si的外角。

证明 我们分若干步骤来证明这个定理。首先假定曲线C是连续可微的简单封闭曲线,它所包围的区域D是落在曲面S的一个坐标域(U;(u,v))内的单连通区域,并且(u,v)是曲面S的正交参数系。于是,曲面的第一基本形式是

I=E(du)2+G(dv)2

设曲线C的参数方程是u=u(s)v=v(s)s是弧长参数。用θ(s)表示曲线Cu-曲线在s处所夹的方向角,则由Liouville定理,曲线C的测地曲率等于

κg=dθ(s)ds12GlogEvcosθ+12ElogGusinθ

将上式沿曲线C积分得到

Cκg ds=Cdθ+C(12GlogEvcosθ+12ElogGusinθ) ds=Cdθ+C(E2GlogEv du+G2ElogGu dv)=Cdθ+C((E)vG du+(G)uE dv)

上式的第二个等号中用了公式

cosθ=Eduds,   sinθ=Gdvds

根据Green公式,积分式右端第二个积分是

C((E)vG du+(G)uE dv)=D(((E)vG)v+((G)uE)u) du dv=DK dσ

因为θ是由连续可微的曲线Cu-曲线所构成的方向角,因此它能够从方向角θ内取出连续分支θ(s),它是s的可微函数。由此可见,积分Cdθθ的一个连续分支θ(s)在起、终点的值之差θ(L)θ(0),也就是连续可微的曲线C的方向角的总变差。但是,曲线Cs=Os=L处的切向量是同一个,故曲线C的方向角的总变差θ(L)θ(0)必定是2π的整数倍。此外,方向角是根据曲面S的第一类基本量EG计算出来的,当曲面S的第一类基本量EG作连续变化时,方向角θ必然作连续的变化,于是积分Cdθ的值也作连续的变化,因而这个整数值必定保持不变。现在已知E>0G>0,因此EG可以保持在正值的情况下连续地变为1。实际上只要取Et=1+t(E1)Gt=1+t(G1)0t1 (需要指出的是,当EtGtt于区间[0,1]之间变动时,区域UD以及曲线C都原地不动)。很明显,Et>0Gt>0。这样,当t=0时该曲面成为一张平面,C是该平面上的一条简单封闭曲线;而在t=1时则回到原来的曲面S的情形,但是对于I=Et(du)2+Gt(dv)计算积分Cdθ,无论是在t=0时计算,还是在t=1时计算,其结果都是一样的。而在平面的情形,C的正向是使区域D始终在行进者的左侧,故由旋转指标定理得到

Cdθ=2π

综合上面的几个积分式得到

Cκg ds+DK dσ=2π

如果曲线C所围的区域D不能包含在曲面S的一个坐标域内,则总是可以用分段光滑曲线将区域D分割成一些单连通的小区域,使得每一个小区域落在曲面S的某个坐标域内,并且它的边界是分段光滑的简单封闭曲线,因此上式对于每一块这样的单连通小区域是成立的。现在假定使上式成立的两小块单连通区域有公共的边界,则由这两个区域本身各自在公共边界上诱导的正定向是彼此相反的,所以在两个等式相加时,测地曲率为沿公共边界的积分是彼此抵消的,而Gauss曲率在这两个区域上的积分之和等于Gauss曲率在这两个区域合并后的区域上的积分。如下图所示,设D1D2是两个相邻的区域,公共边界C4C6有相反的诱导定向,合并后的区域D~=D1+D2的边界由曲线C1C2C3C4C5C6C7C8组成,记为

C~=C1+C2+C3+C5+C7+C8

它有六个角点,设为A1A2A3(=A6)A7A8A4(=A5)。在角点A1A2A7A8处,区域D~的边界曲线C~的外角区域是区域D1D2的边界曲线在相应角点的外角α1α2α7α8。区域D~的边界曲线C~在角点A3(=A6)A4(=A5)处的外角分别是

α~3=α3+α6π,   α~4=α4+α5π

所以将区域D1D2上的Gauss-Bonnet公式相加得到

C~κg ds+D~K dσ=4πi=18αi=2π(α1+α2+α~3+α7+α8+α~4)

这正好是区域D~上的Gauss-Bonnet公式。将区域D分割成的各个小块区域逐块拼接起来,最终得到在区域D上成立的Gauss-Bonnet公式。证毕∎

为了使Gauss-Bonnet公式的记忆比较方便,不妨把积分D~K dσ称为”面曲率”,把C~κg ds称为”线曲率”,把i=1nαi称为”点曲率”,则Gauss-Bonnet公式说:区域D的点曲率、线曲率与面曲率的总和是2π。对于平面上围成单连通区域的分段光滑曲线C,它的点曲率与线曲率之和是2π;若C是光滑的,则绕C一周的方向角总的变差是2π;若C是多边形,则它的外角和是2π

如果曲线C是由n段测地线组成的分段光滑简单封闭曲线,它围成曲面S上的一个单连通区域D,则称它是曲面S上的一个测地n边形。此时,沿曲线C的测地曲率κg=0,所以Gauss-Bonnet公式成为

i=1nαi=2πDK dσ

C是测地三角形时,Gauss-Bonnet公式成为

α1+α2+α3=2πDK dσ

K>0时,测地三角形C的外角和小于2π;当K<0时,测地三角形C的外角和大于2π。如果用βi记测地三角形C的内角,即βi=παi,则上式等价于

β1+β2+β3=π+DK dσ

由此可见,测地三角形的内角和一般不再等于π,而它与π之差恰好是曲面S的Gauss曲率K在测地三角形所围的区域上的积分,因此欧氏平面几何学与曲面上的几何学的本质差别在于空间本身的弯曲性质的不同。

Gauss-Bonnet定理

Gauss-Bonnet公式的最重要的推论是在紧致无边的可定向封闭曲面S上的Gauss-Bonnet定理。所谓”紧致性”是指S的任意一个开覆盖必定有一个有限的子覆盖;在欧氏空间E3中看,紧致曲面S是一个有界的闭子集。”无边”是指曲面S没有边界曲线。例如,球面、环面都是紧致无边的可定向封闭曲面。球面被它的一条赤道(大圆周)分成两个半球面,每一个半球面是一个单连通区域,两个区域的边界都是赤道,但是它们有相反的诱导定向。在环面上去掉一条经线和一条纬线,得到的便是一个单连通区域,作为该单连通区域的边界,把去掉的经线和纬线又算了两次,但是诱导定向正好相反(参看下图)。

一般地,紧致无边的可定向封闭曲面S可用若干条分段光滑曲线分成有限多个单连通区域,每一段光滑曲线作为这些单连通区域的边界的组成部分都算了两次,而方向却相反,但是在每一个单连通区域上Gauss-Bonnet公式都是成立的。当这些公式加在一起时,由于分割曲面的每一段光滑曲线作为相邻的单连通区域的公共边各算了两次,并且正好有相反的诱导定向,因此测地曲率κg沿所有这些单连通区域的边界的积分相加必定是互相抵消的,因而这些积分之和为零。很明显,共享有同一个角点的各个单连通区域的内角之和等于2π。为确定起见,不妨假定每一个单连通区域有三条边,有三个顶点。假定整个曲面S被分成f个单连通区域划分成这些区域的棱(即各段光滑曲线)共有e条,顶点(即各个角点)共有v个(在这里,每条棱和每个顶点都只算了一次)。因为每一条棱恰好是两个单连通区域的公共边,因此各个单连通区域的边数之和是

3f=2e

将所有的顶点进行编号,假定以第i个顶点为其顶点的单连通区域的个数是fi,则各个单连通区域的顶点数之和是

i=1vfi=3f=2e

将享有第i个顶点的所有单连通区域进行编号,用αij表示享有第i个顶点的第j(1jfi)个单连通区域的外角,并且用βij表示相应的内角,则

j=1fiαij=j=1fi(πβij)=(fi2)π

于是将这j个单连通区域上成立的Gauss-Bonnet公式加在一起得到

DK dσ=2πfi=1vj=1fiαij=2πfi=1v(fi2)π=2πfπi=1vfi+2πv=2π(fe+v)=2πχ(S)

其中χ(S)=fe+v称为曲面SEuler示性数

从这个公式本身可以得到很多信息。首先它的左端与曲面S被剖分成一些单连通三角形区域的方式无关,并且与曲面S作等距变形无关,因此该公式表明曲面S的Euler示性数χ(S)v实际上与如何把曲面S划分成一些单连通区域的方式无关,与曲面S等距变形也无关(这一类量称为曲面S的拓扑不变量)。反过来,等式的右端根本不涉及曲面的第一基本形式和Gauss曲率,只是将曲面作三角剖分之后得到的一个数值。由此可见,在紧致无边的可定向封闭曲面S上Gauss曲率的积分实际上与曲面的第一基本形式没有关系,只是曲面S的一个拓扑不变量。众所周知,球面的Euler示性数是2,环面的Euler示性数是0。一般地,有g个洞的面包圈状曲面S的Euler示性数是χ(S)=2(1g),这里g称为曲面S的亏格。

公式DK dσ=2πχ(S)叫作Gauss-Bonnet定理,它把曲面S的微分几何的量K(Gauss曲率)与它的拓扑不变量χ(S)(Euler 示性数)联系了起来,是一个非常了不起的定理。它在高维情形的推广是现代微分几何学发展的一个重要的原动力。

本节的最后我们要用Gauss-Bonnet公式来研究曲面S上的切向量沿封闭曲线平行移动一周所产生的旋转角,再次说明曲面S的Gauss曲率在产生这种旋转角的过程中所起到的本质作用,以及欧氏平面几何学与曲面上的几何学的本质区别。

假定曲面S上连续可微的简单封闭曲线C所围成的单连通区域D(u,v)$$所覆盖,曲面的第一基本形式为

I=E(du)2+G(dv)2

α1=1Eru,   α2=1Grv

{r;α1,α2}是曲面S上的单位正交切标架场。设曲线C的参数方程是u=u(s)v=v(s)0sl是弧长参数,X(s)是沿曲线C平行的单位切向量场,于是可以设

X(s)=cosφ(s)α1(u(s),v(s))+sinφ(s)α2(u(s),v(s))

其中φ(s)是切向量X(s)u-曲线所成的方向角。由于向量场X(s)沿曲线C的平行性,故有

DX(s)ds=dφ(s)ds(sinφα1+cosφα2)+cosφDα1ds+sinφDα2ds=0

dφ(s)ds(sinφα1cosφα2)=cosφDα1ds+sinφDα2ds

将上式两边与(sinφα1cosφα2)作内积,并且根据定理6.15(3)有

Dα1dsα1=Dα2dsα2=0 Dα1dsα2=Dα2dsα1

由此得到

dφ(s)ds=(sinφα1cosφα2)(cosφDα1ds+sinφDα2ds)=Dα1dsα2

另一方面,用e1记曲线C的单位切向量,命e2=n×e1,即e2是将e1按正向旋转90°所得到的单位向量。用θ表示e1u-曲线所成的方向角,于是

e1=cosθα1+sinθα2,   e2=sinθα1+cosθα2

于是得到

κg=De1dse2=dθds+Dα1dsα2

因此有

dθdsκg=dφds

分别取θ(s)φ(s)的连续分支,将上式在曲线C上积分,则得

φ(l)φ(0)=C dφ=C dθCκg ds=2πCκg ds

其中l是简单封闭曲线C的弧长。利用Gauss-Bonnet公式得到

φ(l)φ(0)=DK dσ

由此可见,当单位向量X绕简单封闭曲线C平行移动一周后再回到出发点时未必与初始单位向量X重合,所转过的角度恰好是曲面S的Gauss曲率K在曲线C所围成的单连通区域D上的积分。当C是分段光滑的简单封闭曲线时,上式仍然成立,但是必须假定曲线C所围成的区域D是单连通的。