这个系列是北京大学陈维桓教授《微分几何(第二版)》的学习笔记,主要涉及古典微分几何中曲线曲面理论的相关知识。系统学习微分几何对于理解计算机图形学中的各种几何处理算法是十分有益的。本节介绍内蕴几何学中测地曲率和测地线的相关内容。
由Gauss开创的曲面内蕴几何学有丰富的内容。本章的重点是研究曲面上曲线的测地曲率和测地线,在研究它们的外在特征和性质的同时,更主要的是证明它们可以通过曲面的第一基本形式进行计算,而与曲面的第二基本形式无关。因此它们在曲面的保长对应下是保持不变的,是曲面的内蕴性质。通过本章的学习,使我们了解曲面内蕴几何学的主要研究对象是什么,从而为今后学习黎曼几何学打下基础。
测地曲率和测地挠率
曲面上曲线的正交标架场
设正则参数曲面
在曲线论中我们曾经沿空间曲线
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直观上,向量
首先我们要建立曲面
其中
所以
称
称
测地曲率
下面我们来讨论曲面
其中
所以
根据法曲率的定义,我们已经知道
其中
定理6.1 设
证明 此定理可以通过直接计算来证明,不过这里我们采用更加几何的方式,利用法曲率的几何解释来证明。
设曲面
是曲面
设曲线
设曲线
而从曲面
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定理6.2 曲面
证明 曲面
其中
于是,根据Gauss公式有
因此
但是
故
因此
由于上面的式子只依赖曲面
上面给出的测地曲率公式比较容易记忆,但是在计算时比较复杂。如果在曲面
定理6.3 设
证明 把
因此曲线
所以
其中
因为切向量
但是
所以
由于
因此把
由
因为
所以
因此
证毕∎
作为特例,考虑
同时,对于
这样,Liouville公式又可以写成
测地挠率
最后,我们来讨论测地挠率。由自然标架的运动公式得到
代入测地挠率
由于
所以
因此
从测地挠率的表达式可以看出,曲面
与曲率线所满足的微分方程相对照不难发现,主方向恰好是曲面上使测地挠率为零的切方向。因此,曲面上的曲率线正好是沿其切方向的测地挠率为零的曲线。换言之,曲率线的微分方程是
因此
定理6.4 在曲面
证明 由于曲线
因为
所以
总起来说,本节介绍了曲面
从方法上来讲,沿曲面
测地线
曲面
定义6.1 在曲面
很明显,平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率,因此平面上的测地线就是该平面上的直线。由此可见,曲面上的测地线的概念是平面上的直线概念的推广。在本节我们将从各个方面来解释这种推广的含义。
定理6.5 曲面
证明 在上一节已经知道曲面
其中
测地线方程
为了在一般的曲面
因此
显然
这就是曲面
若引进新的未知函数
这是拟线性常微分方程组。根据常微分方程组的理论,对于任意给定的初始值
很明显,函数组
如果初始值
则能够证明如上所给出的解函数
则
根据条件
这意味着,由方程
定理6.6 对于曲面
需要指出,定理6.6的证明本身说明方程组
的解
因此只要初始值
这就是说,曲线
成立时,即切向量
如果在曲面
曲面上的最短线
众所周知,在平面上连接两点的最短线是以这两点为端点的直线段。在曲面上,测地线具有类似的性质。下面先简要地介绍曲面
设
使得
则称
则称该变分有固定的端点。在直观上,对于每一个参数
条件
用
曲线
当曲面
命
则
就可以了。很明显,当
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假定曲面
则变分曲线
所以
因为
所以
由于
代入前面的式子后再用分部积分得到
假定变分有固定的端点,则
前一个关于
定理6.7 设
证明 设
于是根据第一变分公式,对于曲线
反过来,假定对于曲线
则
根据关系式
有
因此
由于上式的被积表达式
于是
推论 设
定理6.7的证明过程只涉及曲面
测地坐标系和法坐标系
在空间中选择适当的坐标系始终是几何学中的重要课题。对于只有第一基本形式的曲面而言,这种适当的坐标系应该是能够把曲面的第一基本形式最简单地表示出来的参数系。本节要构造这种特殊的参数系,统称为测地坐标系。
测地线族
首先叙述在曲面上覆盖了一个区域的测地线族的概念。假定在曲面
如果
由于
即
这说明
则曲面
由此可以得到下面的定理:
定理6.8 设
证明 假定在区域
在
它与
定理6.8的直观意义是,覆盖区域
定理6.9 设
证明 假定在区域
曲线
因此
在曲面
测地平行坐标系
首先在曲面
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根据前面的讨论得知,在曲线
在必要时经过适当的参数变换,例如
又因为曲线
因此
这样,我们有
定理6.10 在曲面
很明显,平面上的测地平行坐标系就是通常的笛卡儿直角坐标系。
法坐标系
现在我们采取另一种做法,先引进曲面
并且可以假定
这样,
根据定理6.6,对于在点
并且由上式得知
记
它的参数方程是
那么
因此
这说明
由此可见,
上式的意义是:对于给定的切向量
给出的映射
由此可见,若以单位切向量
假定切空间
我们要说明,切空间
它们是参数
因此
这正好是曲面
并且
将上式与
由此可见,变换
曲面
是
即它们关于任意的
特别是将测地线
另一方面
根据在给定的参数系下点的曲纹坐标的唯一性,比较上面两式,得到经过点
假定曲面
特别地由
我们还能够得到关于
其中
在
由此可见,我们有下面的定理:
定理6.11 曲面
需要指出的是,在点
即法坐标系在点
测地极坐标系
最后,我们来看曲面
这样的坐标系适用于切空间
为确定起见,假定所去掉的射线对应于
将所有这样的测地线的集合记为
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引理 点
通常把上面的引理称为Gauss引理。
证明 假定
用
给出。由于变分曲线都是从点
但是,每一条测地线
这意味着,测地线
由于
我们想要知道函数
给出的,因此
同时
所以
将上式代入第一基本形式得到
由此可见
与法坐标系下的第一基本量相对比得到
即
因此
并且
因此
综合上面的讨论我们有下述定理。
定理6.12 在曲面
显然,平面上的极坐标系就是测地极坐标系。
在本节,我们分别介绍了曲面上的测地平行坐标系、法坐标系和测地极坐标系。曲面的第一基本形式在测地平行坐标系和测地极坐标系有最简单的表达式,这就是本节所叙述的定理6.10和定理6.12。曲面上的法坐标系是将曲面在一点处的切空间的笛卡儿直角坐标系经过指数映射产生的,它的特点是经过该点的测地线参数方程变得十分简单,恰好是参数的线性函数,因而相应的第一类基本量在该点有很好的性质。在维数≥3的黎曼几何情形,测地平行坐标系和测地极坐标系不再以如此简单的形式出现了,但是仍然有法坐标系的理论,其中Gauss引理将是十分重要的基本事实。
常曲率曲面
Gauss曲率为常数的曲面称为常曲率曲面。在Gauss曲率为常数的曲面一节我们已经根据常曲率旋转曲面所满足的微分方程算出它的参数方程。在本节,我们将利用测地坐标系决定常曲率曲面的第一基本形式。由此可见,有相同常Gauss曲率的常曲率曲面在局部上是彼此等距的。
假定曲面
其中
根据Gauss曲率
所以
初始条件是
齐次方程的特征方程是
因此,根据
在初始条件下,进一步得到
因此,Gauss曲率为
由此得到下面的定理:
定理6.13 有相同常数Gauss曲率
通过前面各节的讨论可以看出,Gauss的绝妙定理启发我们去研究只具有第一基本形式的一张抽象曲面,而不是放在欧氏空间
称为该抽象曲面上的度量形式。它的几何意义是,抽象曲面在点
曲面上的曲线
在1854年,Riemann把Gauss内蕴微分几何的思想一举推广到任意维数
最简单的一类抽象曲面就是常曲率曲面,它的第一基本形式是由它的常数Gauss曲率
直接计算表明,度量形式
的Gauss曲率为常数
设
设
或者反过来得到
直接计算表明,上面定义的球面的第一基本形式恰好是
在球面上,测地线就是大圆周。很明显,这些大圆周在球极投影下的像是在
前面所介绍的伪球面是负常曲率曲面的例子,但是在该曲面上不是所有的测地线都能够无限地延伸的。要给出常数
考虑
它也可以用参数方程来表示,一种表示方式是所谓的球极投影:将曲面
或者反过来得到
参数
因此,洛伦兹空间
这正好是前面给出的度量形式,即洛伦兹空间
对上式求微分得到
这表明向径
求导数得到
因此
这说明在同一个平面
曲面上切向量的平行移动
本节我们要叙述曲面的内蕴微分几何的一个重要的概念,即曲面上的切向量场的协变微分和曲面上的切向量沿曲线的平行移动。为了容易理解起见,我们首先在
协变微分
设
如果
上式右端的两个向量有不同的起点,它们能做减法的原因是,向量在欧氏空间
要从
定义6.2 命
记
则协变微分可以表示为
我们称
定理6.14 曲面
证明 在曲面
因为
证毕∎
由定理6.14可知,切向量场
实际上,在具有第一基本形式的抽象曲面
其中
定理6.15 曲面
(1)
(2)
(3)
其中
定理6.15说明,协变微分
协变导数
设
定义6.3 命
若设
则有
因此
若命
则
我们把
从
类似地,如果曲面
于是分量
平行移动
定义6.4 设
由协变导数的定义可知,切向量场
这是一阶线性齐次常微分方程组。根据常微分方程组理论,对于给定的可微曲线
称为曲面
因为常微分方程组是一阶线性齐次常微分方程组,所以它的解的全体构成一个向量空间,该向量空间与曲面
这意味着
定理6.16 设
从协变导数的定义6.3可以直接得到下面的定理,它为构造曲面上的切向量沿曲线的平行移动提供了一条有效途径。
定理6.17 设空间
一般来说,当切向量在曲面
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在有了协变导数的概念之后,曲线的测地曲率的表达式和平面曲线的相对曲率的表达式就统一起来了。设曲面
对于在笛卡儿直角坐标系下的平面
特别地,测地线的微分方程成为
或者
所以,曲面
抽象曲面
在本章已经对于抽象曲面片上的微分几何进行了研究。具体地讲,所谓的抽象曲面片是指二维欧氏空间
其中求和指标
需要指出的是,在本章前面的叙述中,往往是从三维欧氏空间
二维流形
从定义3.1得到启发,所谓的整体的抽象曲面是一些参数曲面片粘合的结果,要求两个参数曲面片
都是
更为正式的定义是:设
则称
假定
(1)
(2) 对于任意的
则称
映射
切向量
对于
这里,
二维光滑流形
上述定义与含有点
不难验证,微分算子
(1)
(2)
值得指出的是,若
很明显,这两个切向量场是处处线性无关的。实际上在坐标卡
度量形式
所谓的在二维光滑流形上
其中
这里的
由此可见,
我们把具有上述结构的量
如在一个二维光滑流形
则上式右端与坐标卡
实际上,若有另一个容许坐标卡
因此
很明显,度量形式
抽象曲面上的几何学
假定
在(M, g)中的光滑曲线的长度
设
则
因此
即分量
我们也能把
也就是首先把函数
即
现在,曲线
上式右端与曲线的参数选择是无关的。若有一个保持曲线定向的参数变换
即
这样,我们有
所以
故它与曲线的保持定向的参数变换无关。
对于
则
故
我们把
(M, g)上的一个紧致闭区域的面积
设
设
现在假设
上式右端的数值与坐标卡
因此
根据2重积分变量替换原理,我们有
因为
称为闭区域
(M, g)上的切向量场的协变微分
在抽象曲面
(1)
(2)
(3)
其中(1),(2)两条说明
现在假定
那么,按照求协变导数的法则得到
如果假定
则
由此可见,求得
由协变导数应该遵循的规则(3)得到
如果假定系数
称为由度量矩阵
现在,在
容易得到
对前面的关系式求导得到
将上式的指标
设
所以
我们要证明在
实际上,
由此可见,利用Christoffel记号表达式
容易验证,
叫作
对比前面协变微分的定义知道,此处切向量场的协变微分公式和前面是一致的。不过之前引进切向量场的协变微分是通过”外在的途径”,在这里则是完全采用内在的方式,不涉及曲面的外在形状。
切向量沿光滑曲线的平行移动
这一段内容是曲面上切向量的平行移动的重复,不多赘述了,只是提及主要的定义和公式。
设
如果
容易证明上述条件与曲线
由此可见,沿曲线
(M, g)中曲线的测地曲率
设
由此可见,
因此,
称为曲线
假定曲线
从上面第二式得到
所以
考虑到
带入测地曲率定义式得到
即
下面来决定系数
因此
于是,
即
这样,我们通过内在的途径重新获得了测地曲率的公式。
(M, g)中的测地线
抽象曲面
抽象曲面的曲率
设
在
若
因此
在一般的抽象曲面
所以
记
注意到这个量的表达式和前面介绍的Riemann记号是一样的,称为度量形式
下面我们要导出曲率张量
则
注意:在曲率张量
所以
由Riemann记号的定义式得到
由此可见,带四个下指标的曲率张量有下列对称性:
所以,带四个下指标的曲率张量只有一个实质性的分量
现在回到两个容许坐标卡
因此
另一方面,两个坐标卡的度量形式满足
两边取它们的行列式得到
将上式与曲率张量相除得到
由此可见
Gauss-Bonnet公式
欧氏平面上的平行公设等价于”三角形的内角和等于180°”,或者”三角形的外角和等于360°”。在Klein圆内,欧氏几何的平行公理不再成立,与之等价的是测地三角形的内角和不再等于180°,或者测地三角形的外角和不再等于360°,原因是Klein 圆不再是平坦的空间,它有非零的曲率(事实上,它的Gauss曲率是负常数)。对于一般的曲面测地三角形的内角和(或者外角和)如何?这是本节要研究的问题。我们先讨论一般的Gauss-Bonnet公式,然后将它用于测地三角形,得到测地三角形的外角和的公式。
在平面曲线一节中我们巳经叙述过平面上分段光滑的简单闭曲线的概念。现在假定
定理6.18 (Gauss-Bonnet公式) 假定曲线
证明 我们分若干步骤来证明这个定理。首先假定曲线
设曲线
将上式沿曲线
上式的第二个等号中用了公式
根据Green公式,积分式右端第二个积分是
因为
综合上面的几个积分式得到
如果曲线
它有六个角点,设为
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所以将区域
这正好是区域
为了使Gauss-Bonnet公式的记忆比较方便,不妨把积分
如果曲线
当
当
由此可见,测地三角形的内角和一般不再等于
Gauss-Bonnet定理
Gauss-Bonnet公式的最重要的推论是在紧致无边的可定向封闭曲面
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一般地,紧致无边的可定向封闭曲面
将所有的顶点进行编号,假定以第
将享有第
于是将这
其中
从这个公式本身可以得到很多信息。首先它的左端与曲面
公式
本节的最后我们要用Gauss-Bonnet公式来研究曲面
假定曲面
命
则
其中
即
将上式两边与
由此得到
另一方面,用
于是得到
因此有
分别取
其中
由此可见,当单位向量