微分几何笔记07-活动标架和外微分法

这个系列是北京大学陈维桓教授《微分几何(第二版)》的学习笔记,主要涉及古典微分几何中曲线曲面理论的相关知识。系统学习微分几何对于理解计算机图形学中的各种几何处理算法是十分有益的。本节介绍活动标架和外微分法的相关理论。

外形式

本节要在代数上做一些准备,介绍外形式和外代数的概念。

对偶空间

Vn维向量空间,{e1,...,en}是它的一个基底,则空间V中的任意一个元素x都能够唯一地表示为基底向量e1,...,en的线性组合,设为

x=x1e1++xnenxiei

在最右端我们采用了Einstein的和式约定。在本节,我们规定所有的指标ijkl的取值范围是从1到n的整数。实数x1,...,xn称为向量x在基底{e1,...,en}下的分量。

f:VR是向量空间V上的函数。如果对于任意的x,yVαR总有

f(x+y)=f(x)+f(y),   f(αx)=αf(x)

则称f是向量空间V上的线性函数。在固定的基底{ei}下,取向量xV在该基底下的第j的分量,显然它是在向量空间V的一个线性函数,记为ej,即

ej(x)=xj

特别地,函数ej在基底向量ei上的值是

ej(ei)={1,i=j0,ij

为方便起见,常常把上式右端记为δij,称作Kronecker δ记号,即

δij={1,i=j0,ij

这里的δij是专用记号,与基底{ei}所用的字母的记号没有关系。

很明显,向量空间V上的任意两个线性函数的和是V上的线性函数,V上的一个线性函数与实数α的乘积仍然是V上的线性函数。这就是说,V上全体线性函数的集合关于加法和数乘法是封闭的。因此该集合是一个新的向量空间,记为V, 称为原向量空间V对偶空间。容易证明,前面在V的固定基底{ei}下定义的n个线性函数e1,...,en恰好构成空间V的基底,称为与原向量空间V的基底{e1,...,en}对偶的基底。实际上,对于任意的线性函数fV和任意的向量x=xieiV,我们有

f(x)=f(xiei)=xif(ei)

fi=f(ei)

则可以得到

f(x)=fixi=fiei(x)=(fiei)(x),   xV

因此

f=fiei

这说明向量空间V上的任意一个线性函数f能够表示成线性函数e1,...,en的线性组合,组合系数fi正好是线性函数f在基底向量ei上的值。下面要证明这n个线性函数e1,...,en是线性无关的。假定有n个实数α1,...,αn使得线性组合α1e1++αnen为零,即

α1e1++αnen=0

将这个零函数在基底ek上求值得到

0=αiei(ek)=αiδki=αk,   k

这意味着所有的实数α1,...,αn必须为零,因此线性函数e1,...,en是线性无关的,故它们构成对偶向量空间V的基底,特别是dimV=nV上的线性函数也称为一次形式,或者1-形式。

多重线性函数

类似地,我们可以考虑线性空间V上的多重线性函数。设

f:V××VrR

V上的r元函数。如果它对于每一个自变量来说都是线性函数,则称它是r重线性函数。线性空间V上全体r重线性函数的集合关于加法和数乘法自然是封闭的,因此它本身是一个向量空间,记为rV,或者Vr

另外,任意两个多重线性函数能够作张量积,得到一个新的多重线性函数。例如,设f是一个r重线性函数,g是一个s重线性函数,fg的张量积fg定义为

fg(x1,...,xr+s)=f(x1,...,xr)g(xr+1,...,xr+s)

其中x1,...,xr+sV。很明显,fg是一个r+s重线性函数。容易验证,张量积具有分配律和结合律,即

分配率:(f+g)h=fh+ghh(f+g)=hf+hg

结合律:(fg)h=f(gh)=fgh

因此,r个线性函数的张量积便成为一个r重线性函数。特别地,设{e1,...,en}是对偶向量空间V的基底,任意固定r个指标i1,...,ir,则我们得到一个r重线性函数ei1eir,它在向量x1,...,xrV上的值是

ei1eir(x1,...,xr)=ei1(x1)eir(xr)=x1i1xrir

指标i1,...,ir的选法共有nr种,因此我们得到nrr重线性函数

ei1eir,   1i1,...,irn

它们构成向量空间rV的基底,由此可见dimrV=nr。实际上,若设frVx1,...,xrV,则

f(x1,...,xr)=f(x1i1ei1,...,xrireir)=x1i1xrirf(ei1,...,eir)=fi1irei1eir(x1,...,xr)

其中

fi1ir=f(ei1,...,eir)

因此

f=fi1irei1eir

类似地,可以证明nrr重线性函数是线性无关的。

外形式

frV。如果在函数f的任意两个自变量交换位置时f的值只改变它的符号,即对于任意的x1,...,xrV以及任意的1s<tr总有

f(x1,...,xs1,xs,xs+1,...,xt1,xt,xt+1,...)=f(x1,...,xs1,xt,xs+1,...,xt1,xs,xt+1,..)

则称f是一个反对称的r重线性函数,或称f是一个r外形式,简称为r-形式。此时,如果σ{1,...,r}的任意一个置换,则有

f(xσ(1),...,xσ(r))=sign(σ)f(x1,...,xr)

其中sign(σ)是置换σ的符号,即

sign(σ)={1,若 σ是偶置换1,若 σ是奇置换

实际上,r次外形式的最简单的例子就是由行列式给出的。

x1,...,xr是向量空间V中的r个元素,在基底{e1,...,en}下它们可以表示为

xi=xi1e1++xinen

任意取定一组指标1j1<<jrn,命

Dj1...jr(x1,...,xr)=|x1j1x1jrxrj1xrjr|

根据行列式的形式,函数Dj1...jr(x1,...,xr)x1,...,xr的反对称的r重线性函数,即Dj1...jr是一个r次外形式。

外积

以后我们要证明任意一个r次外形式无非是这样的一些行列式的线性组合。为此我们先介绍反对称化运算和外积运算这两个概念。

所谓的反对称化运算是将一个r重线性函数变成一个r重反对称线性函数的手段。实际上,r重线性函数f的反对称化(记为[f])就是将它的自变量做所有的置换,然后取它们的值的交替平均值。例如,设fV上的一个2重线性函数,则

[f](x,y)=12(f(x,y)f(y,x)),   x,yV

如果fV上的一个3重线性函数,则

[f](x,y,z)=16(f(x,y,z)f(y,x,z)+f(y,z,x)f(z,y,x)+f(z,x,y)f(x,z,y))

其中x,y,zV。一般地,设fV上的一个r重线性函数,则

[f](x1,...,xr)=1r!σGrsign(σ)f(xσ(1),...,xσ(r))

其中Grr个整数{1,...,r}的置换群。很明显,[f]是一个r次外形式。如果f本身是r次外形式,则[f]=f

向量空间V上的全体r次外形式集合记为rV,因为加法和数乘法在集合rV中是封闭的,因此它自然是一个向量空间。更要紧的一个事实是在外形式之间还能够定义外积运算, 它在实质上是张量积和反对称化运算的复合。

定义7.1

frVgsV,则fg外积fg是一个(r+s)次外形式,定义为fg=(r+s)!r!s![fg]

根据定义7.1,设fg是向量空间V上的两个一次形式,则它们的外积为

fg(x,y)=2[fg](x,y)=fg(x,y)fg(y,x)=f(x)g(y)f(y)g(x)=|f(x)f(y)g(x)g(y)|

其中x,yV。类似地,设fgh是向量空间V上的三个一次形式,它们的外积为

f(gh)(x,y,z)=|f(x)f(y)f(z)g(x)g(y)g(z)h(x)h(y)h(z)|
定理7.1

外积运算遵循下列运算法则:
(1) 分配率:(f1+f2)g=f1g+f2g
(2) 反交换律:设frVgsV,则fg=(1)rsgf
(3) 结合律:f(gh)=(fg)h

根据结合律,任意多个外形式的外积是有意义的。例如:3个外形式fgh的外积fgh可以写成f(gh),也可以写成(fg)h

由反交换律得知,如果fgV上的一次形式,则

fg=gf

特别地,

ff=ff=0

另外,如果在fg中至少有一个是偶次外形式,则下面的交换律成立:

fg=gf

现在设f1,...,frV上的r个一次形式,则有

f1fr=r![f1fr]

任意取x1,...,xrV,则

f1fr(x1,...,xr)=r![f1fr](x1,...,xr)=|f1(x1)f1(xr)fr(x1)fr(xr)|

特别地,在V的基底{ei}中任意取定r个成员ej1,...,ejr,则由上式得到

ej1ejr(x1,...,xr)=|ej1(x1)ej1(xr)ejr(x1)ejr(xr)|=|x1j1xrj1x1jrxrjr|

和前面相对照不难知道

Dj1jr=ej1ejr

若在V的基底{ei}中任意取定r个成员ei1,...,eir,则由上面的式子得到

ej1ejr(ei1,...,eir)=|δi1j1δirj1δi1jrδirjr|δi1irj1jr

我们把δi1irj1jr称为广义的Kronecker δ记号。由它的定义式即知

δi1irj1jr={1,i1,...,ir互不相同,且j1,...,jri1,...,ir的偶排列1,i1,...,ir互不相同,且j1,...,jri1,...,ir的奇排列0,其它情形

根据反交换律,对于一次形式f1,...,fr的外积f1fr,交换其中的任意两个因子,则该外积必反号。所以,对任意的σGr

fσ(1)fσ(r)=sign(σ)f1fr=δ1rσ(1)σ(r)f1fr

外代数

定理7.2

{e1,...,en}是对偶向量空间V的一个基底,则{ej1ejr,1j1<<jrn}r次外形式空间rV的基底。特别是,空间rV的维数是dimrV=Cnr。当r>n时,rV={0}

证明frV,则f作为r重线性函数可以表示为 f=fj1jrej1ejr

其中

fj1jr=f(ej1,...,ejr)

这里{ei}是向量空间V中对偶的基底。因为f的反对称性,所以系数fj1jr关于下指标是反对称的,即

fjσ(1)jσ(r)=sign(σ)fj1jr,   σGr

因此

f=[f]=fj1jr[ej1ejr]=1r!fj1jrej1ejr=1j1<<jrnfj1jrej1ejr

这说明任意一个r次外形式f都能够表示成ej1ejr1j1<<jrn的线性组合。

为了证明这Cnrr次形式ej1ejr1j1<<jrn是线性无关的,假定有一组实数j1jr1j1<<jrn,使得线性组合

1j1<<jrnfj1jrej1ejr=0

将这个零函数在向量ei1,...,eir1i1<<irn上求值,得到

0=1j1<<jrnfj1jrej1ejr(ei1,...,eir)=1j1<<jrnfj1jrδi1irj1jr=fi1ir

由此可见,这组实数fj1jr1j1<<jrn必须全部为零。证毕∎

上面的构造可以从代数上进行抽象。假定W是任意一个n维向量空间,它的一个基底是{w1,...,wn}。把w1,...,wn看作n个字母,构造实系数多项式,只是要求字母之间的乘法不是普通的交换乘法,而是反交换乘法。也就是在交换任意两个字母的位置时该乘积变号:

wiwj=wjwi,   1i,jn

把这种乘法称为外积,假定多个字母的外积遵循结合律,同时假定分配律也成立。如此得到的多项式称为外多项式。由于

wiwi=wiwi

wiwi=0,   i

因此在外多项式的每一项中同一个字母不能出现两次,于是高于n次的齐次外多项式必定是零。这样,一次外多项式是字母w1,...,wn的线性组合,它们构成向量空间W本身。二次外多项式是wiwj1i<jn的线性组合,它们构成的空间记成2W。一般地,k次外多项式是

wi1wik,   1ii<<ikn

的线性组合,它们构成的空间记成kW。零次外多项式定义为实数本身。全体外多项式的集合记为

(W)=k=0nkW

其元素是各次外多项式的形式和。在集合(W)中有加法和外积运算,并且外积运算适合分配律、结合律和反交换律,所以从代数上讲,(W)是一个结合代数,称为向量空间W上的外代数

由此可见向量空间V上的外形式就是其对偶空间V的基底向量e1,...,en的外多项式。但是,我们在本节具体地、构造性地定义了外形式的外积,而不只是一种抽象的规定。这就是说,本节叙述的外形式的理论具体地构造出一个外代数。

外多项式的形式化定义的好处在于消除外形式和外积的神秘感。从普通的多项式出发,只要规定字母之间的乘法是反交换的,则所得到的便是外多项式。

具有反交换乘法的代数结构的例子还有:设R3是三维向量空间,「×」是该空间上的向量积(叉积)。容易验证,空间R3关于向量积是一个代数。不过,向量积不具有结合律,而满足所谓的Jacobi恒等式,因此R3关于向量积不是外代数,而是所谓的李代数

最后,我们叙述一个重要的定理,它在微分几何中是十分有用的。

定理7.3 (Cartan引理)

ω1,...,ωrθ1,...,θrn维向量空间V2r个一次形式,其中ω1,...,ωr是线性无关的。如果恒等式α=1rωαθα=0成立,则每一个θα必定是ω1,...,ωr的线性组合,即θα=β=1raαβωβ,并且组合系数aαβ是对称的,即aαβ=aβα

证明 因为ω1,...,ωr是线性无关的,所以可以把它们扩充成为对偶空间V的一个基底ω1,...,ωr,ωr+1,...,ωn,因此每一个一次形式θα可以由该基底表示,命

θα=i=1naαiωi

已知空间2V的基底是{ωiωj,1i<jn},将上式代入已知条件α=1rωαθα=0得到

0=α=1rωαθα=α=1ri=1naαiωαωi=α=1rβ=1raαβωαωβ+α=1rξ=r+1naαξωαωξ=1α<βr(aαβaβα)ωαωβ+α=1rξ=r+1naαξωαωξ

于是所有的组合系数必须为零,即

aαβaβα=0,   1α<βr aαξ=0,   1αr<ξn

这样θα成为

θα=β=1raαβωβ

证毕∎

外微分式和外微分

本节的主要内容是介绍外微分式的概念及其外微分运算。为此,我们首先复习曲纹坐标系的概念。

曲纹坐标系

设欧式空间E3中的正则曲面S的参数方程是r(u1,u2),其中(u1,u2)DE2,则

dr=rαduα

前面的章节,我们已经强调(u1,u2)可以作为曲面S上的点p的坐标,称为曲面S上的点p的曲纹坐标。另外,从上式得知曲面S在点p的切空间的基底是{r1,r2},而(du1,du2)是在点p的任意一个切向量的分量,因此du1du2分别是曲面S在点p的切空间TpS上的线性函数,它们构成曲面S在点p的切空间的对偶空间上与自然基底{r1,r2}对偶的基底,记为{du1,du2}。我们把曲面S在点p的切空间TpS的对偶空间称为曲面S在点p余切空间,记为TpS。余切空间TpS中的元素称为曲面S在点p余切向量,也就是曲面S在点p的切空间上的线性函数。

上面的说法可以搬到欧氏空间E2的一个区域D上去,得到平面区域D上的曲纹坐标的概念。设(x1,x2)是平面区域D上的笛卡尔直角坐标系,(u1,u2)是另一个平面区域U上的笛卡儿直角坐标系。如果在平面区域UD之间存在一个一一对应,它可以表示为从UD的映射f:UD, 即

x1=f1(u1,u2),   x2=f2(u1,u2)

以及从DU的逆映射g:DU,即

u1=g1(x1,x2),   u2=g2(x1,x2)

并且假定函数fα(u1,u2)gα(x1,x2)都是连续可微的,则称(u1,u2)是平面区域D上的曲纹坐标系。如果让u2的值固定,而让u1变化,则我们再平面区域D上得到一条曲线,称为平面区域D上的一条u1-曲线。同理,我们有平面区域D上的一条u2-曲线。由于平面区域UD的点之间是一一对应的,因此经过区域D上的每一点p只有一条u1-曲线,也只有一条u2-曲线。我们把u1-曲线的切向量记为u1,把u2-曲线的切向量记为u2,于是它们构成区域D在点p的切空间的基底,记为{u1,u2},同时区域D在点p的余切空间的基底是{du1,du2}。在点p的任意一个余切向量是du1du2的线性组合。

由于映射f:UDg:DU互为逆映射,因此有恒等式

xα=fα(g1(x1,x2),g2(x1,x2)),   α=1,2

和恒等式

uα=gα(f1(u1,u2),f2(u1,u2)),   α=1,2

因为fα(u1,u2)gα(x1,x2)都是连续可微函数,将uαuβ求导得到

gαxγfγuβ=δβα

所以Jacobi行列式

(f1,f2)(u1,u2)0

反过来,根据反函数定理,如果有两个连续可微函数

x1=f1(u1,u2),   x2=f2(u1,u2)

只要它们的Jacobi行列式(f1,f2)(u1,u2)处处不为零,则在任意一点(x01,x02)的一个邻域内存在反函数

u1=g1(x1,x2),   u2=g2(x1,x2)

使得恒等式成立,因此(u1,u2)可作为区域D在点(x01,x02)的邻域内的曲纹坐标。由此可见,平面区域上的曲纹坐标系要比笛卡儿直角坐标系随意得多。克服笛卡儿直角坐标系的局限性是数学发展过程中的重要一步,同时曲纹坐标系的概念又导致微分流形概念的产生。

一般地,设(x1,...,xn)n维欧氏空间En中的区域D上的笛卡儿直角坐标系,(u1,...,un)n维欧氏空间En中的另一个区域U上笛卡儿直角坐标系。如果在区域UD之间存在一个一一对应,它可以表示为从UD的映射f:UD,即

x1=f1(u1,...,un),,xn=fn(u1,...,un)

以及从DU的逆映射g:DU,即

u1=g1(x1,...,xn),,un=gn(x1,...,xn)

并且假定函数fα(u1,...,un)gα(x1,...,xn)都是连续可微的,则称(u1,...,un)是区域D上的曲纹坐标系。区域D在点p的切空间的自然基底是{u1,...,un},同时区域D在点p的余切空间的基底是{du1,...,dun}。在点p的任意一个余切向量是du1,...,dun的线性组合。

反过来,根据反函数定理,如果有n个连续可微函数

x1=f1(u1,...,un),,xn=fn(u1,...,un)

只要它们满足条件

(f1,...,fn)(u1,...,un)0

则在任意一点(x01,...,x0n)的一个邻域内存在反函数

u1=g1(x1,...,xn),,un=gn(x1,...,xn)

使得恒等式

xα=fα(g1(x1,...,xn),...,gn(x1,...,xn)),   1αn

和恒等式

uα=gα(f1(u1,...,un),...,fn(u1,...,un)),   1αn

成立,因此(u1,...,un)可以作为区域D在点(x01,...,x0n)的邻域内的曲纹坐标。由此可见,(f1,...,fn)(u1,...,un)0是函数组f1,...,fn能够在点(x01,...,x0n)的邻域内引进曲纹坐标系(u1,...,un)的充分必要条件。

在20世纪中叶,所谓的大范围微分几何和大范围分析的课题成为数学研究的热门课题,所考虑的空间不再限于具有笛卡儿直角坐标系的欧氏空间,而只要求这种空间在局部上具有曲纹坐标系,并且容许曲纹坐标系作一定的变换,这种空间就是现在所称的微分流形。稍微确切一点说,所谓的n维微分流形是指由n维欧氏空间中的一些小块区域一片、一片连续可微地拼接起来得到的空间。这里,「连续可微地拼接起来」的意思是在有些小块区域的某部分可以通过其上面的曲纹坐标的正则的连续可微的函数关系等同起来。当n=2时,这就是前面所叙述的二维光滑流形。以后为方便起见,总是假定连续可微函数指它有连续的任意阶的各种偏导数,有时也称这种函数是光滑函数。在n维微分流形的每一点有切向量、切空间、余切向量、余切空间的概念,特别地在曲纹坐标系(u1,...,un){du1,...,dun}n维微分流形在一点的余切空间的基底。

外微分式

现在,我们要给出外微分式的定义。

定义7.2

Dn为欧式空间En中的一个区域,(u1,...,un)是区域D上的曲纹坐标系。如果以连续可微的方式在每一点p=(u1,...,un)D给定了一个r次外形式

φ(p)=1r!φi1ir(u1,...,un)dui1duir=1i1<<irnφi1ir(u1,...,un)dui1duir

其中假定系数函数φi1ir(u1,...,un)对于下指标是反对称的,则称φ是定义在D上的r次外微分式

在这里,所谓的「以连续可微的方式」是指系数φi1ir(u1,...,un)1i1<<irnu1,...,un的连续可微函数,即φi1ir(u1,...,un)u1,...,un的光滑函数。

f:DR是定义在D上的连续可微函数,则它的微分

df=fuidui

即为区域D上的1次微分式,因而也是D上的一个1次外微分式。

S是三维欧式空间E3中的一块正则参数曲面,参数方程是

r=r(u1,u2)

并且它的第一基本形式是

I=gαβduαduβ

dσ=g11g22(g12)2du1du2

dσ是曲面S上的一个2次微分式。

容易证明:2次微分式dσ在曲面S的保持定向的容许参数变换下是不变的。实际上,如果(u~1,u~2)是曲面S的另一个保持定向的参数系,于是u~α=u~α(u1,u2)的至少3次以上连续可微的函数,并且

(u~1,u~2)(u1,u2)>0

假定曲面S的第一基本形式用新参数(u~1,u~2)的表达式是

I=g~αβdu~αdu~β

则根据第一基本形式的不变性,在第一类基本量g~αβgαβ之间有关系式

(g11g12g21g22)=J(g~11g~12g~21g~22)JT

其中

J=(u~1u1u~2u1u~1u2u~2u2)

对等式两边取行列式得到

g11g22(g12)2=(detJ)2(g~11g~22(g~12)2)

因此

g11g22(g12)2=|detJ|g~11g~22(g~12)2

但是根据已知条件,Jacobi行列式大于0

detJ=|u~1u1u~2u1u~1u2u~2u2|=(u~1,u~2)(u1,u2)>0

所以关于第一基本形式的等式成为

g11g22(g12)2=detJg~11g~22(g~12)2

在另一方面,对函数u~α(u1,u2)求微分得到

du~α=u~αu1du1+u~αu2du2,   α=1,2

因此

du~1du~2=(u~1u1du1+u~1u2du2)(u~2u1du1+u~2u2du2)=(u~1,u~2)(u1,u2)du1du2

综合前面的推导可以得到

g~11g~22(g~12)2du~1du~2=g~11g~22(g~12)2(u~1,u~2)(u1,u2)du1du2=g11g22(g12)2du1du2

这就证明了2次微分式dσ在曲面S的保持定向的容许参数变换下是不变的。

这个事实蕴涵着一个十分重要的结果。我们在前已经定义过正则曲面的概念(定义3.1),它是一片、一片正则参数曲面粘合的结果,在重叠部分会有多个曲纹坐标系,但是在不同的曲纹坐标系之间的变换都是容许的参数变换。上面的断言表明,虽然2次微分式dσ在曲面S的每一个参数表示是dσ=g11g22(g12)2du1du2,但是它在实际上是定义在整个有向正则曲面S上的2次外微分式。同样,有向抽象曲面(二维黎曼流形)上也有定义在整个曲面上的2次微分式dσ。在这里,我们具体地描述了构造定义在整个有向曲面S上的量的一种方式,即这个量可以用局部坐标来表示、但是与局部坐标系的选择无关。这种方式有普遍意义。

2次外微分式dσ称为在曲面S上的面积元素,其理由如下:假设在曲纹坐标系(u1,u2)下,在点p给定两个切向量

a=a1r1+a2r2,   b=b1r1+b2r2

那么

dσ(a,b)=g11g22(g12)2du1du2(a,b)=g11g22(g12)2(du1(a)du2(b)du1(b)du2(a))=g11g22(g12)2(a1b2b1a2)

作切向量ab的向量积得到

a×b=(a1b2b1a2)r1×r2=(a1b2b1a2)|r1×r2|n=(a1b2b1a2)(|r1||r2|sin(a,b))n=(a1b2b1a2)|r1||r2|1cos2(a,b)n=(a1b2b1a2)g11g22(g12)2n

因此

dσ(a,b)=±|a×b|

换言之,dσ(a,b)恰好是切向量a×b所张的平行四边形的有向面积。

外微分

区域D上的任意两个同次的外微分式能够以逐点计算的方式作加法和外积运算。对于外微分式来说,更重要的一种运算是外微分,它把r次外微分式变为一个r+1次外微分式。

定义7.3

φ=1r!φi1irdui1duir 是定义在区域D上的一个r次外微分式。用如下的方式定义r+1次外微分式:

dφ=1r!dφi1irdui1duir=1r!φi1irujdujdui1duir

称为φ外微分。如果φ:DR是定义在D上的连续可微函数(即零次外微分式),则它的外微分dφ就是它的普通微分。

定理7.4

外微分运算d遵循下面的运算法则:
(1) d是线性算子,即对于任意的外微分式φ1φ2d(φ1+φ2)=dφ1+dφ2d(cφ1)=cdφ1,   cR
(2) dd=0,即对于任意一个外微分式φ,有 d(dφ)=0 (3) 若φr次外微分式,则对于任意一个外微分式ψ,有 d(φψ)=dφψ+(1)rφdψ

关于运算法则(3)有两个特殊情形需要特别强调一些。若f是定义在区域D上的零次外微分式,即f是定义在区域D上的连续可微函数,则由(3)得到

d(fψ)=dfψ+fdψ

φ是定义在区域D上的一次外微分式,则

d(φψ)=dφψφdψ

外微分运算还有一个更重要的性质,也就是外微分d与外微分式的参数表示的方式无关,这称为「外微分d的形式不变性」,是微积分学中「一次微分的形式不变性」的推广。确切地说我们有下面的定理。

定理7.5

φ是定义在n维区域D上的一个r次外微分式,它在曲纹坐标系(u1,...,un)下的表示是

φ=1r!φi1ir(u1,...,un)dui1duir

在另一个曲纹坐标系(u~1,...,u~n)下的表示是

φ=1r!φ~i1ir(u~1,...,u~n)du~i1du~ir

其中假定φi1irφ~i1ir对下指标都是反对称的,则有

dφi1irdui1duir=dφ~i1irdu~i1du~ir

证明 由于不同的曲纹坐标系之间有容许的坐标变换,设为

u~i=u~i(u1,...,un),   1in

du~i=u~iujduj

因此

φi1ir(u1,...,un)dui1duir=φ~j1jr(u~1,...,u~n)du~j1du~jr=φ~j1jr(u~1,...,u~n)u~j1ui1u~jruirdui1duir

很明显,φ~j1jru~j1u~i1u~jru~ir对于下指标i1,...,ir仍然是反对称的,因此比较上式的前后两端的系数得到

φi1ir=φ~j1jru~j1ui1u~jruir

对上式求微分得到

dφi1ir=uk(φ~j1jru~j1u~i1u~jru~ir)duk=(φ~j1jru~lu~luku~j1ui1u~jruir+φ~j1jr2u~j1ukui1u~jruir++φ~j1jru~j1ui12u~jrukuir)duk

所以

dφi1irdui1duir=(φ~j1jru~lu~luku~j1ui1u~jruir+φ~j1jr2u~j1ukui1u~jruir++φ~j1jru~j1ui12u~jrukuir)dukdui1duir=φ~j1jru~lu~luku~j1ui1u~jruirdukdui1duir=φ~j1jru~ldu~ldu~j1du~jr=dφ~j1jrdu~j1du~jr

在这里,第二个等号成立的理由是除了第1项以外,其余各项全部为零,例如

2u~j1ukui1u~jruirdukdui1duir=12(2u~j1ukui12u~j1ui1uk)u~jruirdukdui1duir=0

证毕∎

根据定理7.5,外微分实际上是定义在整个正则曲面S上的算子,或者更一般地,外微分是定义在光滑流形上的算子。因为在这种空间每一点的邻域内有局部坐标系,而在不同的局部坐标系之间有容许的坐标变换,但是外微分算子与局部坐标系的选取无关,所以它是在整个空间上定义好的算子。这就是说,给定一个定义在光滑流形M上的一个r次外微分式,尽管在不同的局部坐标系下,外微分式有不同的表达式,但是它们的外微分仍旧是同一个外微分式在相应的局部坐标系下的表达式。因此,外微分运算把定义在整个流形M上的一个r次外微分式变成定义在整个流形M上的一个确定的r+l次外微分式。

定理7.5还可以作一些推广,这在以后十分有用。设有另一个m维区域D~,曲纹坐标系是(u~1,...,u~m),并且σ:DD~是一个连续可微映射,表示为

u~α=u~α(u1,...,un),   α=1,...,m

映射σ诱导出一个映射σ,它把定义在区域D~上的r次外微分式变为区域D上的r次外微分式。例如,设

φ~=1r!1α1,...,αrmφ~α1...φr(u~1,...,u~m)du~α1du~αr

σφ~是区域D上的r次外微分形式,它是把u~α代入φ~式所得到的结果,即

σφ~=1r!φ~α1...φr(u~1(u1,...,un),...,u~m(u1,...,un))u~α1ui1u~αruirduα1duαr

其中指标α1,...,αr的取值范围从1到m,指标i1,...,ir的取值范围从1到n,并且上式使用了Einstein和式约定。通常,我们把σφ~称为区域D~上的r次外微分式φ~通过映射σ在区域D上的拉回

定理7.6

σ:D~D是连续可微映射,则对区域D~上的任意外微分式φ~ψ~有下面的等式:
(1) σ(φ+ψ)=σφ+σψ
(2) σ(φψ)=σφσψ
(3) σ(dφ)=d(σφ)

把微积分学中的重积分的被积表达式写成外微分式是更加自然的,因为此时积分的变扯替换公式可以通过直接计算得到。例如,考虑二维区域上的重积分Df(x,y) dxdy,其中的dxdy应该换成dxdy。如果有变量替换

x=x(u,v),   y=y(u,v),   (u,v)D~

dxdy=|xuxvyuyv|dudv=(x,y)(u,v)dudv

所以

Df(x,y) dxdy=D~f(x(u,v),y(u,v))(x,y)(u,v)dudv

这正好是二重积分的变量替换公式。三重积分的情况是一样的。

Stokes公式

采用外微分的语言,积分的Green公式、Stokes公式和Gauss 公式可以统一地表述如下:设Gn维欧式空间En中的一个r维有向曲面上的一个区域,GG的边界,具有从G诱导的定向,ω是定义在G上的r1次外微分式,则有

Gω=Gdω

上式统称为Stokes公式

E³中的标架族

活动标架的运动公式

第一章中, 我们已经讨论过由E3中的标架的全体所组成的12维空间。具体一点说,就是在E3中取定一个右手单位正交标架{O;i,j,k},那么在E3中的任意一个右手标架{p;e1,e2,e3}都可以表示成

(Ope1e2e3)=(a1a2a3a11a12a13a21a22a23a31a32a33)(ijk)

并且条件

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|>0

成立。因此,E3中全体右手标架的集合FR12中满足行列式大于0条件的区域D,位于区域中的点的坐标就是

(a1,a2,a3,a11,a12,,a33)

如果{p;e1,e2,e3}是右手单位正交标架,则除了满足行列式大于0条件外,它还要满足方程

eiej=δij,   1i,j3

(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)(a11a12a33a12a22a32a13a22a33)=(100010001)

因此E3中全体右手标架的集合FR12中满足上述条件的一张6维(代数)曲面。

现在我们来考察标架{p;e1,e2,e3}的无穷小位移,也就是标架原点p和标架向量e1,e2,e3的微分,则有

(d(Op)de1de2de3)=(da1da2da3da11da12da13da21da22da23da31da32da33)(ijk)

但是{e1,e2,e3}是线性无关的,因此基底{i,j,k}反过来可以用{e1,e2,e3}来表示,即

(ijk)=(b11b12b13b21b22b23b31b32b33)(e1e2e3)

其中系数矩阵

(b11b12b13b21b22b23b31b32b33)=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)1

将上式代入标架向量的微分得到

(d(Op)de1de2de3)=(da1da2da3da11da12da13da21da22da23da31da32da33)(b11b12b13b21b22b23b31b32b33)(e1e2e3)

展开以后得到

d(Op)=Ω1e1+Ω2e2+Ω3e3dei=Ωi1e1+Ωi2e2+Ωi3e3

其中

Ωj=k=13dakbkj,   Ωij=k=13daikbkj,   1i,j3

向这里的ΩjΩij是区域D上的12个一次微分式,称为欧式空间E3上的活动标架的相对分量方程称为活动标架的运动公式

上面的讨论对于欧氏空间E3上的单位正交活动标架也是适用的,只是现在要求矩阵(aij)是正交矩阵,即

(b11b12b13b21b22b23b31b32b33)=(a11a21a31a12a22a32a13a23a33)

因此欧式空间E3上的单位正交活动标架的相对分量是

Ωj=k=13ajkdak,   Ωij=k=13ajkdaik,   1i,j3

另外,容易得知

Ωij=Ωji,   1i,j3

因此欧式空间E3上的单位正交活动标架的相对分量在实质上只有6个,它们是

Ω1,   Ω2,   Ω3,   Ω12=Ω21,   Ω13=Ω31,   Ω23=Ω32

这些一次微分式定义在R12中的6维曲面F~上。

标架空间的结构方程

定理7.7

欧式空间E3上的活动标架的相对分量ΩjΩij满足下列方程式:

dΩj=k=13ΩkΩkj,   dΩij=k=13ΩikΩkj

这组方程称为欧氏空间E3上的标架空间F结构方程

证明 标架族的位置向量d(Op)相当于函数a1a2a3,而每一个标架向量ei相当于函数ai1ai2ai3,所以d(Op)ei实际上是标架空间F中的12个坐标函数。根据外微分的性质得到

d(d(Op))=0,   d(dei)=0

代入活动标架的运动方程得到

0=d(d(Op))=j=13d(Ωjej)=j=13(dΩjejΩjdej)=j=13(dΩjk=13ΩkΩkj)ej 0=d(dei)=j=13d(Ωijej)=j=13(dΩijejΩijdej)=j=13(dΩijk=13ΩikΩkj)ej

因为e1e2e3是线性无关的,因此上式终端的系数必须为零。证毕∎

欧式空间E3上的单位正交标架空间F~有相同的结构方程,但是由于外微分式Ωij关于指标有反对称性,故结构方程成为

dΩj=k=13ΩkΩkjdΩ12=Ω13Ω32=Ω13Ω23dΩ13=Ω12Ω23dΩ23=Ω21Ω13=Ω13Ω12

下面我们考虑欧氏空间E3中依赖r个参数的标架族。设变量(u1,,ur)的定义域是空间Rr中的一个区域D~,那么所谓的E3中依赖r个参数的标架族是指从r维区域D~到标架空间F中的一个连续可微映射σ:D~F,即有12个连续可微函数

ai=ai(u1,,ur),   aij=aij(u1,,ur)

其中det(aij(uα))>0。把u1,,ur看作自变量,将上式代入标架的定义方程并求微分,故有

d(Op)=i=13ωkek,   dei=i=13ωikek

很明显

ωk=σΩk,   ωik=σΩik

它们是r维区域D~上的一次微分式,称为E3中依赖r个参数u1,,ur的标架族的相对分量。上式称为E3中依赖r个参数u1,,ur的标架族的运动公式。

如果考虑欧式空间E3中依赖r个参数的单位正交标架族,则它是从r维区域D~到标架空间F~中的一个连续可微映射σ:D~F~,换言之,这12个函数ai=ai(u1,,ur)aij=aij(u1,,ur)还要满足条件

k=13aik(u1,,ur)ajk(u1,,ur)=δij

相应地,相对分量ωjωij满足关系式

ωij+ωji=0
定理7.8

欧式空间E3中依赖r个参数u1,,ur的任意一个标架族{p(uα);e1(uα),e2(uα),e3(uα)}的相对分量ωjωij必定满足结构方程

dωj=k=13ωkωkj,   dωij=k=13ωikωkj

证明 根据定理7.6可以得到

dωj=d(σΩj)=σdΩj=σ(k=13ΩkΩkj)=k=13σΩkσΩkj=k=13ωkωkj dωij=d(σΩij)=σdΩij=σ(k=13ΩikΩkj)=k=13σΩikσΩkj=k=13ωikωkj

证毕∎

结构方程的重要性在于上述定理的逆定理成立,即结构方程成立是使标架族存在、且以给定的一组一次微分式ωjωij1i,j3为其相对分量的充分条件。具体地说,我们有下面的定理:

定理7.9

任意给定12个依赖自变量(u1,,ur)D~Rr的一次微分式ωjωij1i,j3,如果它们满足结构方程

dωj=k=13ωkωkj,   dωij=k=13ωikωkj

则在欧式空间E3中有依赖r个参数u1,,ur的右手标架族{p(uα);e1(uα),e2(uα),e3(uα)}ωjωij为它的相对分量。

定理7.9′

任意给定6个依赖自变量(u1,,ur)D~Rr的一次微分式

ω1,ω2,ω3,ω12=ω21,ω13=ω31,ω23=ω32

如果它们满足结构方程

dωj=k=13ωkωkj,   dωij=k=13ωikωkj

则在欧式空间E3中有依赖r个参数u1,,ur的右手单位正交标架族{p(uα);e1(uα),e2(uα),e3(uα)}ωjωij为它的相对分量,并且任意两个这样的右手单位正交标架族可以通过空间E3的一个刚体运动彼此重合。

定理7.9和定理7.9′的证明,实际上要化为在证明曲面存在定理时用到的一阶线性齐次偏微分方程组的求解问题,而结构方程相当于这组偏微分方程组的完全可积条件。

曲面上的正交标架场

本节的目的是把E3中的标架族的理论用于曲面论的研究。首先我们求曲面上自然标架场的相对分量,然后把曲面论的Gauss-Codazzi方程和自然标架场的结构方程等同起来。我们所着眼的重点还是如何在曲面上取单位正交标架场,并且把曲面的有关几何量用曲面上的一阶标架场的相对分量表示出来,为在曲面上用活动标架法创造条件。

自然标架场

设欧式空间E3中曲面S的参数方程是r=r(u1,u2),相应的自然标架场是{r;r1,r2,n},其中

rα=ruα,   α=1,2;   n=r1×r2|r1×r2|

因此,自然标架场{r;r1,r2,n}是空间E3中依赖参数u1u2的标架族。

现在求这个标架族的相对分量ωjωij。假定曲面S的两个基本形式分别是

I=gαβduαduβ,   II=bαβduαduβ

由于

dr=r1du1+r2du2

活动标架的运动公式对照得到

ω1=du1,   ω2=du2,   ω3=0

由曲面论的Gauss-Weingarten公式得到

drα=rαuβduβ=Γαβγduβrγ+bαβduβn dn=nuβduβ=bβγduβrγ

其中Γαβγ是度量矩阵(gαβ)的Christoffel记号。与活动标架的运动公式对照得到

ωαγ=Γαβγduβ,   ωα3=bαβduβ,   ω3γ=bβγduβ,   ω33=0,   α,γ=1,2

下面考察该标架族的结构方程。根据ω1=du1ω2=du2ω3=0得知dωj=0。而在另一方面,由于Γαβγbαβ关于下指标的对称性我们有

k=13ωkωkγ=α,β=12duαΓαβγduβ=(Γ12γΓ21γ)du1du2=0 k=13ωkωk3=α,β=12duαbαβduβ=(b12γb21γ)du1du2=0

因此第一组结构方程

dωj=k=13ωkωkj,   1j3

是自动成立的。第二组结构方程可以写成

dωαγ=ωαβωβγ+ωα3ω3γ,   dωα3=ωαβωβ3, dω3γ=ω3βωβγ,   dω33=ω3βωβ3

可以验证,上面的前两个式子分别是Gauss方程和Codazzi方程

总起来说,在曲面S上取自然标架场{r;r1,r2,n},则它的相对分量为

ω1=du1,   ω2=du2,   ω3=0 ωαγ=Γαβγduβ,   ωα3=bαβduβ,   ω3γ=bβγduβ,   ω33=0,   α,γ=1,2

它们所满足的结构方程恰好是曲面S所满足的Gauss-Codazzi方程。由此可见,如果已知两个二次微分形式

φ=gαβduαduβ,   ψ=bαβduαduβ

其中φ是正定的,要验证它们是否满足Gauss-Codazzi方程,只要构造一次微分式ωjωij,然后验证它们是否满足结构方程就行了。由于结构方程比Gauss-Codazzi方程容易记忆,所以验证结构方程显然是比较方便的。

正交标架场

下面我们来讨论曲面S上的单位正交标架场。首先我们要指出,从曲面S的自然标架场得到单位正交标架场的最简单的方法是所谓的Schmidt正交化步骤。假定曲面S的第一基本形式是(采用Gauss记号)

I=E(du)2+2Fdudv+G(dv)2

则从{ru,rv}经过Schmidt正交化得到

e1=ruE,   e2=1EGF2(FEru+Erv)

g=EGF2,则上式可以用矩阵表示为

(e1e2)=(1E0FEgEg)(rurv)

e3=e1×e2=n

现在,{r;e1,e2,e3}是定义在曲面S上的单位正交标架场,其中e1e2是曲面S的切向量。这时欧式空间E3中依赖参数uv的正交标架族。为求该标架族的相对分量ωi,注意到dr是曲面S的切向量,所以

ω3=dre3=rn=0

另外,根据相对分量ωi的定义得到

dr=ω1e1+ω2e2=(ω1ω2)(e1e2)=(ω1ω2)(1E0FEgEg)(rurv)=(dudv)(rurv)

所以

(dudv)=(ω1ω2)(1E0FEgEg)

或者

(ω1ω2)=(dudv)(E0FEgE)

ω1=Edu+FEdv,   ω2=gEdv

上面求曲面S上的单位正交标架场{r;e1,e2,e3}的相对分量ω1ω2的过程,可以简单地归结为曲面S的第一基本形式配平方的过程。实际上,将第一基本形式配平方得到

I=E(du)2+2Fdudv+G(dv)2=(Edu+FEdv)2+(EGF2Edv)2

把等式终端的第一个括号内的式子记为ω1,第二个括号内的式子记为ω2即可。

一阶标架场

一般地,如果曲面S上的单位正交标架场{r;e1,e2,e3}中的成员e1e2是曲面S的切向量,则称这样的标架场为曲面S一阶标架场。对于曲面S的任意一个一阶标架场{r;e1,e2,e3}必定有

dr=ω1e1+ω2e2

因此ω3=0并且

I=drdr=(ω1e1+ω2e2)2=(ω1)2+(ω2)2

反过来,只要将曲面S的第一基本形式作任意的配平方,把它写成两个一次微分式的平方和,并且把这两个一次微分式分别记为ω1ω2,而让ω3=0,则我们便得到曲面S的某个一阶标架场的相对分量,并且由此可以得到曲面S的一阶标架场关于自然标架场的表达式。这个看法为在曲面S上选用一阶标架场带来方便,在实践中是十分有用的。

下面我们来求曲面S的一阶标架场相对分量的其他成员。假定我们有曲面S的一阶标架场{r;e1,e2,e3},换言之,我们有一次微分式ω1ω2ω3=0,使得

I=(ω1)2+(ω2)2

因为I是正定的,容易证明ω1ω2是处处线性无关的。首先我们断言:一次微分式ω12=ω21是由ω1ω2根据结构方程唯一确定的。确切地说,我们有下面的定理。

定理7.10

假定ω1ω2是依赖自变量uv的两个处处线性无关的一次微分式,则存在唯一的一个一次微分式ω12=ω21满足条件

dω1=ω2ω21,   dω2=ω1ω12

证明 因为曲面S的一阶标架场是空间E3中依赖参数uv的单位正交标架族,它的相对分量必定是自变量uv的一次微分式,但是ω1ω2uv的处处线性无关的一次微分式,故可设

ω12=ω21=pω1+qω2

将上式代入结构方程得到

dω1=pω1ω2,   dω2=qω1ω2

因为dω1dω2是自变量uv的二次微分式,所以它们必定是dudv的倍数,其系数是uv的函数。同时因为ω1ω2uv的处处线性无关的一次微分式,故二次微分式ω1ω2dudv的非零函数倍,这样,dω1dω2必定是ω1ω2的倍数,其系数恰好是我们要确定的pq,即

p=dω1ω1ω2,   q=dω2ω1ω2

由此可见,一次微分式ω12=ω21是由ω1ω2借助于结构方程唯一确定的。证毕∎

关于曲面S的一阶标架场的相对分量,还需要求出ω13=ω31ω23=ω32,它们与曲面S的第二基本形式有关。根据结构方程

0=dω3=ω1ω13+ω2ω23

以及ω1ω2的线性无关性,由Cartan引理得知

(ω13ω23)=(ω1ω2)(abbc)

根据曲面S的第二基本形式的定义

II=drde3=(ω1e1+ω2e2)(ω31e1+ω32e2)=(ω1ω31+ω2ω32)=ω1ω13+ω2ω23=a(ω1)2+2bω1ω2+c(ω2)2

如果已知曲面S的第二基本形式是

II=L(du)2+2Mdudv+N(dv)2

则将dudv关于ω1ω2的表达式代入上式就能够得到待定系数abc

将上面的讨论综合起来,我们有下面的结论:如果给定曲面S的第一基本形式I和第一基本形式II,将I作任意一个配平方,写成两个一次微分式ω1ω2的平方和,那么ω1ω2ω3=0一定是曲面S的某个一阶标架场的相对分量。根据定理7.10,相对分量ω12=ω21ω1ω2借助于结构方程dω1=ω2ω21,   dω2=ω1ω12唯一地确定,ω13=ω31ω23=ω32由曲面S的第二基本形式II借助于结构方程0=dω3=ω1ω13+ω2ω23唯一地确定。至此,尚未涉及曲面S的另一组结构方程dωij=ωikωki,它们恰好是曲面S的Gauss-Codazzi方程。

定理7.10说明,对于曲面S的一阶标架场来说,相对分量ω12=ω22是由ω1ω2借助于结构方程唯一确定的。这个事实可以用来证实S上切向量场的协变微分和沿曲线的平行移动是属于曲面S的内蕴几何的概念。设{r;e1,e2,e3}是曲面S的一阶标架场,则

de1=ω12e2+ω13e3,   de2=ω21e1+ω23e3

根据曲面S上切向量场协变微分的定义,我们有

De1=(de1)=ω12e2,   De2=(de2)=ω21e1

假定

X=x1e1+x2e2

是曲面S上的一个连续可微切向量场,则它的协变微分是

DX=dx1e1+x1De1+dx2e2+x2De2=(dx1+x2ω21)e1+(dx2+x1ω12)e2

Dx1=dx1+x2ω21,   Dx2=dx2+x1ω12

分别称为切向量场X的分量x1x2的协变微分。注意到协变微分De1De2中只用到相对分量ω12=ω21,而它们是由ω1ω2确定的,与曲面S的第二基本形式无关,所以协变微分是曲面S的内蕴几何的概念,在曲面S作保长变换时它是保持不变的。在曲面的内蕴微分几何学中,一次微分形式

ω12=ω21

通常称为联络形式

曲面的一阶标架场是与曲面有密切关系的标架场,曲面的一些几何量应该能够用一阶标架场的相对分量来表示。但是曲面的一阶标架场的选取又有相当大的随意性,因为让曲面S的一阶标架场{r;e1,e2,e3}在每一点绕法向量e3转过一个角度θ得到的仍然是曲面S的一阶标架场。换言之,曲面S的一阶标架场容许作如下的变换:

e~1=cosθe1+sinθe2e~2=sinθe1+cosθe2

其中θ是曲面S上的连续可微函数。正是因为曲面S的一阶标架场的选取享有这种自由度,使得它与曲面S的参数系的关系比较松弛,从而为处理曲面的问题带来很多便利,这就是所谓的活动标架的优越性。当然,曲面的几何量在用一阶标架场的相对分量表示时应该与一阶标架场的容许变换无关。

我们先考虑曲面S的一阶标架场的相对分量在一阶标架场经受容许变换时的变换规律。用ω~jω~ij记一阶标架场{r;e~1,e~2,e~3}的相对分量。容易得知

e~3=e~1×e~2=e1×e2=e3

因此

dr=(ω1ω2)(e1e2)=(ω~1ω~2)(e~1e~2)=(ω~1ω~2)(cosθsinθsinθcosθ)(e1e2)

所以ω~3=ω3=0,并且

(ω1ω2)=(ω~1ω~2)(cosθsinθsinθcosθ) (ω~1ω~2)=(ω1ω2)(cosθsinθsinθcosθ)

根据协变微分,我们有

De~1=ω~12e~2

因此

ω~12=De~1e~2=D(cosθe1+sinθe2)(sinθe1+cosθe2)=[(sinθe1+cosθe2)dθ+cosθDe1+sinθDe2](sinθe1+cosθe2)=dθ+ω12

同理,因为e~3=e3,故

de~3=de3=(ω31ω32)(e1e2)=(ω~31ω~32)(e~1e~2)=(ω~31ω~32)(cosθsinθsinθcosθ)(e1e2)

因此

(ω31ω32)=(ω~31ω~32)(cosθsinθsinθcosθ) (ω~13ω~23)=(ω13ω23)(cosθsinθsinθcosθ)

假定

(ω~13ω~23)=(ω~1ω~2)(a~b~b~c~)

通过计算可以得到

(ω1ω2)(cosθsinθsinθcosθ)(a~b~b~c~)=(ω13ω23)(cosθsinθsinθcosθ)=(ω1ω2)(abbc)(cosθsinθsinθcosθ)

所以

(a~b~b~c~)=(cosθsinθsinθcosθ)(abbc)(cosθsinθsinθcosθ)

(ω13,ω23)(ω1,ω2)表示时其系数矩阵在变换下经受一个相似变换(或合同变换),其过渡矩阵就是标架场容许变换对应的旋转矩阵。

定理7.11

若曲面S上的一阶标架场{r;e1,e2,e3}经受如下的变换

(e~1e~2)=(cosθsinθsinθcosθ)(e1e2),   e~3=e3

则对应的相对分量按下列规律进行变换

(ω~1ω~2)=(ω1ω2)(cosθsinθsinθcosθ)
ω~3=ω3=0
ω~12=ω12+dθ
(ω~13ω~23)=(ω13ω23)(cosθsinθsinθcosθ)

曲面上的曲线

前面我们曾经指出,落在曲面S上的曲线C受到曲面的制约,它的弯曲性质必然在某种程度上反映了曲面的弯曲情况。现在,我们要把上一节所建立的曲面的一阶标架场理论用于曲面上曲线的研究。

假定在曲面S:r=r(u1,u2)上取定一个一阶标架场{r;α1,α2,α3},其中α3=n。设它的相对分量是ω1ω2ω3=0以及ωij=ωji,它们都是参数u1u2的一次微分式。

C是曲面S上的一条连续可微曲线,其参数方程为uα=uα(s)α=1,2s为弧长参数。因此,曲线C的单位切向量是

e1=dr(s)ds=ω1dsα1+ω2dsα2

这里的ω1ω2是曲面S的相对分量在曲线C上的限制。设θe1α1所构成的方向角,即

e1=cosθα1+sinθα2

故沿曲线C

ω1ds=cosθ,   ω2ds=sinθ

e2=n×e1=α3×(cosθα1+sinθα2)=sinθα1+cosθα2=ω2dsα1+ω1dsα2e3=α3=n

于是{r;e1,e2,e3}是沿曲面S上的曲线C所定义的单位正交标架场,它是曲面S的一阶标架场{r;α1,α2,α3}在曲线C上的限制、并在每一点转过一个角度θ得到的。根据定义,曲线C的曲率向量是

de1ds=(sinθα1+cosθα2)dθds+cosθdα1ds+sinθdα2ds=(dθds+ω12ds)e2+ω1ω13+ω2ω23ds2e3

所以

De1ds=(de1ds)=(dθds+ω12ds)e2

故曲面S上的曲线C的测地曲率是

κg=dθds+ω12ds

法曲率是κn=de1dsn,即

κn=ω1ω13+ω2ω23ds2=acos2θ+2bsinθcosθ+csin2θ

其中abc是相对分量ω13ω23ω1ω2线性表示时的系数。为求得沿曲线C的单位正交标架场{r;e1,e2,e3}的运动公式,还需要作如下计算:

de2ds=(cosθα1+sinθα2)dθdssinθdα1ds+cosθdα2ds=(dθds+ω12ds)e1+ω1ω23ω2ω13ds2e3

所以曲面S上的曲线C的测地挠率是

τg=ω1ω23ω2ω13ds2=bcos2θ+(ca)cosθsinθbsin2θ

前面推导的法曲率公式可以看作切方向的方向角θ的函数,使我们能够容易地考虑κn的极值性质。根据法曲率计算公式得到

κn=a1+cos2θ2+bsin2θ+c1cos2θ2=a+c2+ac2cos2θ+bsin2θ

如果ac2b同时为零,则κn=a+c2与方向角θ无关,即曲面S在该点沿各个切方向的法曲率都相同,因此该点是曲面S的脐点。假定ac2b不同时为零,则可取θ0使得

cos2θ0=ac(ac)2+4b2,   sin2θ0=2b(ac)2+4b2

于是曲面S的法曲率κn可以写成

κn=a+c2+(ac2)2+b2cos2(θθ0)

由此可见,曲面S在一点的法曲率κnθ=θ0θ=θ0+π时达到最大值

κ1=a+c2+(ac2)2+b2

θ=θ0+π2θ=θ0+3π2时达到最小值

κ2=a+c2(ac2)2+b2

换句话说,κ1κ2是曲面S在一点的主曲率,θ0+kπ2是曲面S在该点的主方向,而且对应于不同主曲率的主方向必定是彼此正交的。另外,从主曲率两个计算式得到

2H=κ1+κ2=a+c,   K=κ1κ2=acb2

法曲率公式还能够进一步写成

κn=a+c2+(ac2)2+b2(cos2(θθ0)sin2(θθ0))=(a+c2+(ac2)2+b2)cos2(θθ0)+(a+c2(ac2)2+b2)sin2(θθ0)=κ1cos2(θθ0)+κ2sin2(θθ0)

这正是Euler公式的一般情形。如果取曲面S的一阶标架场{r;α1,α2,α3}使得α1α2是曲面S的主方向,则这样的标架场称为曲面S二阶标架场。对于曲面S的二阶标架场{r;α1,α2,α3},显然有θ0=0,因此Euler公式成为

κn=κ1cos2θ+κ2sin2θ

这就是关于曲面S的法曲率的标准Euler公式。

另外,当ac2b不同时为零时,测地挠率能够改写成

τg=b(cos2θsin2θ)+(ca)sinθcosθ=bcos2θ+ca2sin2θ=(ac2)2+b2(sin2θ0cos2θcos2θ0sin2θ)=12(κ2κ1)sin2(θθ0)

所以,曲面S在任意一点沿主方向θ=θ0时总是有测地挠率τg=0。反之亦然,由此可见

ω1ω23ω2ω13=0

是曲面S上曲率线的微分方程。比较上式和法曲率计算公式,不难知道

dκn(θ)dθ=2τg(θ)

曲面S上的二阶标架场是与曲面S有更加密切关系的标架场。假定{r;α1,α2,α3}是曲面S的二阶标架场,则θ0=0,故b=0,因此

ω13=aω1,   ω23=cω1

ac的假设下,我们有κ1=aκ2=c,并且曲面S的第二基本形式成为

II=ω1ω13+ω2ω23=κ1(ω1)2+κ2(ω2)2

由此可见在曲面S的二阶标架场下,它的第一基本形式和第二基本形式有最简单的表达式。