微分几何笔记04-曲面的第二基本形式

这个系列是北京大学陈维桓教授《微分几何(第二版)》的学习笔记，主要涉及古典微分几何中曲线曲面理论的相关知识。系统学习微分几何对于理解计算机图形学中的各种几何处理算法是十分有益的。本节介绍曲面的第二基本形式。

本节我们将研究描写正则参数曲面形状的方法，并且介绍曲面的各种曲率的概念。

第二基本形式

设\(S: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)是一张正则参数曲面。曲面\(S\)在任意一点\((u_0, v_0)\)处的切平面\(\Pi\)的单位法向量是

\[\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v}{\vert \boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v \vert} \bigg\vert_{(u_0, v_0)}\]

在直观上，曲面\(S\)在点\((u_0, v_0)\)处弯曲的状况可以用该点附近的点到切平面\(\Pi\)的有向距离\(\delta\)来刻画。若曲面\(S\)在点\((u_0, v_0)\)处弯曲得越厉害，则\(\vert \delta \vert\)增加的速率越大，即\(\delta\)绝对值与邻近点到点\((u_0, v_0)\)的距离之比反映了曲面在该邻近点方向的弯曲程度。\(\delta\)的符号说明曲面\(S\)上点\((u_0, v_0)\)的邻近点落在点\((u_0, v_0)\)的切平面\(\Pi\)的哪一侧。

设\((u_0, v_0)\)的邻近点是\((u_0 + \Delta u, v_0 + \Delta v)\)，它到切平面\(\Pi\)的有向距离是

\[\delta (\Delta u, \Delta v) = (\boldsymbol{r} (u_0 + \Delta u, v_0 + \Delta v) - \boldsymbol{r} (u_0, v_0)) \cdot \boldsymbol{n}\]

根据Taylor展开式有

\[\begin{aligned} (\boldsymbol{r} (u_0 + \Delta u, v_0 + \Delta v) - \boldsymbol{r} (u_0, v_0)) &= (\boldsymbol{r}_u \Delta u + \boldsymbol{r}_v \Delta v) \\ &+ \frac{1}{2} \big( \boldsymbol{r}_{uu} (\Delta u)^2 + 2 \boldsymbol{r}_{uv} \Delta u \Delta v + \boldsymbol{r}_{vv} (\Delta v)^2 \big) \\ &+ \boldsymbol{o} \big( (\Delta u)^2 + (\Delta v)^2 \big) \end{aligned}\]

其中向量函数\(\boldsymbol{r}_u\)，\(\boldsymbol{r}_{uu}\)等都在点\((u_0, v_0)\)处取值，并且

\[\lim_{(\Delta u)^2 + (\Delta v)^2 \rightarrow 0} \frac{\boldsymbol{o} \big( (\Delta u)^2 + (\Delta v)^2 \big)}{(\Delta u)^2 + (\Delta v)^2} = 0\]

因此

\[\begin{aligned} \delta (\Delta u, \Delta v) &= \frac{1}{2} [L (\Delta u)^2 + 2 M \Delta u \Delta v + N (\Delta v)^2] \\ &+ \boldsymbol{o} \big( (\Delta u)^2 + (\Delta v)^2 \big) \end{aligned}\]

其中

\[\begin{cases} \begin{aligned} L &= \boldsymbol{r}_{uu} (u_0, v_0) \cdot \boldsymbol{n} (u_0, v_0) \\ M &= \boldsymbol{r}_{uv} (u_0, v_0) \cdot \boldsymbol{n} (u_0, v_0) \\ N &= \boldsymbol{r}_{vv} (u_0, v_0) \cdot \boldsymbol{n} (u_0, v_0) \\ \end{aligned} \end{cases}\]

由于\(\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n} = \boldsymbol{r}_v \cdot \boldsymbol{n} = 0\)，因此

\[\begin{cases} \begin{aligned} \boldsymbol{r}_{uu} \cdot n + \boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n}_u &= 0\\ \boldsymbol{r}_{uv} \cdot n + \boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n}_v &= 0\\ \boldsymbol{r}_{vu} \cdot n + \boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n}_u &= 0\\ \boldsymbol{r}_{vv} \cdot n + \boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n}_v &= 0\\ \end{aligned} \end{cases}\]

所以\(L\)，\(M\)，\(N\)还能表示成

\[\begin{cases} \begin{aligned} L &= -\boldsymbol{r}_{u} \cdot n_u \\ M &= -\boldsymbol{r}_{u} \cdot n_v = -\boldsymbol{r}_{v} \cdot n_u \\ N &= -\boldsymbol{r}_{v} \cdot n_v \\ \end{aligned} \end{cases}\]

这启示我们考虑二次微分式

\[\begin{aligned} \mathrm{II} &= (\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n} = - \mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{n} \\ &= L (\mathrm{d} u)^2 + 2M \mathrm{d} u \mathrm{d} v + N (\mathrm{d} v)^2 \end{aligned}\]

上式称为曲面的第二基本形式，其系数\(L\)，\(M\)，\(N\)称为曲面的第二类基本量。

容许的参数变换

曲面的第二基本形式\(\mathrm{II}\)与第一基本形式\(\mathrm{I}\)有类似的特性，即与曲面上保持定向的容许参数变换是无关的。假定曲面有容许的参数变换

\[\begin{cases} \begin{aligned} u &= u(\tilde{u}, \tilde{v}) \\ v &= v(\tilde{u}, \tilde{v}) \\ \end{aligned} \end{cases}\]

并且

\[\frac{\partial (u, v)}{\partial (\tilde{u}, \tilde{v})} \gt 0\]

因此

\[\begin{cases} \begin{aligned} \boldsymbol{r}_{\tilde{u}} &= \boldsymbol{r}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} + \boldsymbol{r}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \\ \boldsymbol{r}_{\tilde{v}} &= \boldsymbol{r}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} + \boldsymbol{r}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} \end{aligned} \end{cases}\]

故

\[\boldsymbol{r}_{\tilde{u}} \times \boldsymbol{r}_{\tilde{v}} = \frac{\partial (u, v)}{\partial (\tilde{u}, \tilde{v})} \boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v\] \[\tilde{\boldsymbol{n}} = \boldsymbol{n}\]

对法向量\(\tilde{\boldsymbol{n}}\)进行微分有

\[\begin{cases} \begin{aligned} \tilde{\boldsymbol{n}}_{\tilde{u}} &= \boldsymbol{n}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} + \boldsymbol{n}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} \\ \tilde{\boldsymbol{n}}_{\tilde{v}} &= \boldsymbol{n}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} + \boldsymbol{n}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} \\ \end{aligned} \end{cases}\]

把它们写成矩阵的形式有

\[\begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_{\tilde{u}} \\ \boldsymbol{r}_{\tilde{v}} \end{pmatrix} = J \cdot \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_{u} \\ \boldsymbol{r}_{v} \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} \boldsymbol{n}_{\tilde{u}} \\ \boldsymbol{n}_{\tilde{v}} \end{pmatrix} = J \cdot \begin{pmatrix} \boldsymbol{n}_{u} \\ \boldsymbol{n}_{v} \end{pmatrix}\]

其中

\[J = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \\ \frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} \\ \end{pmatrix}\]

带入到第二基本形式的定义可以得到

\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} \tilde{L} & \tilde{M} \\ \tilde{M} & \tilde{N} \end{pmatrix} &= - \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_{\tilde{u}} \\ \boldsymbol{r}_{\tilde{v}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \boldsymbol{n}_{\tilde{u}} & \boldsymbol{n}_{\tilde{v}} \end{pmatrix} \\ &= -J \cdot \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_{u} \\ \boldsymbol{r}_{v} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \boldsymbol{n}_{u} & \boldsymbol{n}_{v} \end{pmatrix} \cdot J^T \\ &= J \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} J^T \end{aligned}\]

由此可见，\(L\)，\(M\)，\(N\)在保持定向的容许参数变换下的变换规律与第一类基本量\(E\)，\(F\)，\(G\)的变换规律是一样的。很明显，根据函数微分的公式有

\[\begin{pmatrix} \mathrm{d} u & \mathrm{d} v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{d} \tilde{u} & \mathrm{d} \tilde{v} \end{pmatrix} \cdot J\]

因此

\[\begin{aligned} L (\mathrm{d} u)^2 + 2M \mathrm{d} u \mathrm{d} v + N (\mathrm{d} v)^2 &= \begin{pmatrix} \mathrm{d} u & \mathrm{d} v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{d} u \\ \mathrm{d} v \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \mathrm{d} \tilde{u} & \mathrm{d} \tilde{v} \end{pmatrix} \cdot J \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} J^T \cdot \begin{pmatrix} \mathrm{d} \tilde{u} \\ \mathrm{d} \tilde{v} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \mathrm{d} \tilde{u} & \mathrm{d} \tilde{v} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde{L} & \tilde{M} \\ \tilde{M} & \tilde{N} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{d} \tilde{u} \\ \mathrm{d} \tilde{v} \end{pmatrix} \\ &= \tilde{L} (\mathrm{d} \tilde{u})^2 + 2\tilde{M} \mathrm{d} \tilde{u} \mathrm{d} \tilde{v} + \tilde{N} (\mathrm{d} \tilde{v})^2 \end{aligned}\]

这就说明了第二基本形式\(\mathrm{II}\)与曲面\(S\)是保持定向的容许参数变换是无关的。由此可见，在有向正则曲面\(S\)上存在定义在整个曲面\(S\)上的第二基本形式\(\mathrm{II}\)，它和第一基本形式\(\mathrm{I}\)一起是有向正则曲面\(S\)上的两个基本的二次微分形式。

实际上，\(\mathrm{II} = - \mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{n}\)告诉我们第二基本形式可以表达为一次微分形式\(\mathrm{d} \boldsymbol{r}\)和\(\mathrm{d} \boldsymbol{n}\)内积的形式。根据一次微分形式的不变性，\(\mathrm{d} \boldsymbol{r}\)和\(\mathrm{d} \boldsymbol{n}\)在保持定向的容许参数变换下是不变的，因此第二基本形式\(\mathrm{II}\)在这样的变换下也是不变的。上面的讨论还告诉我们，若参数变换翻转曲面的定向，则\(\tilde{\boldsymbol{n}} = -\boldsymbol{n}\)，于是第二基本形式就恰好改变它的符号。

第二基本形式直接的几何意义是，它是有向距离\(\delta (\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)在\(\sqrt{(\Delta u)^2 + (\Delta v)^2} \rightarrow 0\)时无穷小的主要部分的两倍，即

\[\mathrm{II} \approx 2 \delta (\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\]

平面的第二基本形式

定理4.1

一块正则曲面是平面的一部分，当且仅当它的第二基本形式恒等于零。

证明我们首先来计算平面的第二基本形式。设\(S\)是\(\mathbb{E}^3\)中的\(Oxy\)平面，所以它的参数方程可以表示为

\[\boldsymbol{r} = (u, v, 0)\]

它的单位法向量为

\[\boldsymbol{n} = (0, 0, 1)\]

所以

\[\begin{cases} \begin{aligned} \mathrm{I} &= \mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r} = (\mathrm{d} u)^2 + (\mathrm{d} v)^2 \\ \mathrm{II} &= -\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{n} = 0 \end{aligned} \end{cases}\]

因此平面的第二基本形式恒为零。接下来考虑充分性，假定正则参数曲面的参数方程是

\[\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\]

它的第二基本形式恒为零，即

\[\begin{cases} \begin{aligned} L &= -\boldsymbol{r}_{u} \cdot n_u = 0 \\ M &= -\boldsymbol{r}_{u} \cdot n_v = -\boldsymbol{r}_{v} \cdot n_u = 0 \\ N &= -\boldsymbol{r}_{v} \cdot n_v = 0 \\ \end{aligned} \end{cases}\]

我们要证明它的单位法向量\(\boldsymbol{n}\)是常向量场。由于\(\boldsymbol{n}\)是单位向量场，故有

\[\boldsymbol{n}_u \cdot \boldsymbol{n} = \boldsymbol{n}_v \cdot \boldsymbol{n} = 0\]

注意到\(\{ \boldsymbol{r}; \boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v, \boldsymbol{n} \}\)是空间\(\mathbb{E}^3\)中的标架，而上面的式子说明\(\boldsymbol{n}_u\)，\(\boldsymbol{n}_v\)在标架向量\(\boldsymbol{r}_u\)，\(\boldsymbol{r}_v\)，\(\boldsymbol{n}\)上的正交投影都是零，所以\(\boldsymbol{n}_u\)，\(\boldsymbol{n}_v\)都是零向量，即

\[\mathrm{d} \boldsymbol{n} = \boldsymbol{n}_u \mathrm{d} u + \boldsymbol{n}_v \mathrm{d} v = \boldsymbol{0}\]

因此，\(\boldsymbol{n}\)为常向量场。由于

\[\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n} = 0\]

所以

\[\mathrm{d} (\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n}) = \mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n} + \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{n} = 0\]

因此，\(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n}\)为常数。于是

\[\boldsymbol{r} (u, v) \cdot \boldsymbol{n} = \boldsymbol{r} (u_0, v_0) \cdot \boldsymbol{n}\] \[\big( \boldsymbol{r} (u, v) - \boldsymbol{r} (u_0, v_0) \big) \cdot \boldsymbol{n} = 0\]

这说明曲面\(S\)落在经过点\(\boldsymbol{r} (u_0, v_0)\)，以\(\boldsymbol{n}\)为法向量的平面内。证毕∎

球面的第二基本形式

定理4.2

一块正则曲面是球面的一部分，当且仅当在曲面上的每一点，它的第二基本形式是第一基本形式的非零倍数。

证明设曲面\(S: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)是落在以\(\boldsymbol{r}_0\)为中心、以常数\(R\)为半径的球面上，则曲面的参数方程满足条件

\[\big( \boldsymbol{r}(u, v) - \boldsymbol{r}_0 \big)^2 = R^2\]

对上式进行微分得到

\[\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \big( \boldsymbol{r}(u, v) - \boldsymbol{r}_0 \big) = 0\]

由此可见，\((\boldsymbol{r}(u, v) - \boldsymbol{r}_0)\)是曲面的法向量，故

\[\boldsymbol{n} = \frac{1}{R} \big( \boldsymbol{r}(u, v) - \boldsymbol{r}_0 \big)\]

因此

\[\mathrm{II} = - \mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{n} = -\frac{1}{R} \mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r} = -\frac{1}{R} \mathrm{I}\]

反过来，假定有处处不为零的函数\(c(u, v)\)，使得曲面的第二基本形式和第一基本形式满足关系式

\[\mathrm{II} = c(u, v) \cdot \mathrm{I}\]

将上面的关系式展开便得到

\[(L - cE) (\mathrm{d} u)^2 + 2(M - cF) \mathrm{d} u \mathrm{d} v + (N - cG) (\mathrm{d} v)^2 = 0\]

对于任意一个固定点\((u, v)\)，上式是关于\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)的恒等式，因此

\[\begin{cases} \begin{aligned} L(u, v) &= c(u, v) E(u, v) \\ M(u, v) &= c(u, v) F(u, v) \\ N(u, v) &= c(u, v) G(u, v) \\ \end{aligned} \end{cases}\]

根据第一类基本量和第二类基本量的定义，上面的方程组等价于

\[\begin{cases} \begin{aligned} (\boldsymbol{n}_u + c \ \boldsymbol{r}_u) \cdot \boldsymbol{r}_u &= 0 \\ (\boldsymbol{n}_u + c \ \boldsymbol{r}_u) \cdot \boldsymbol{r}_v &= (\boldsymbol{n}_v + c \ \boldsymbol{r}_v) \cdot \boldsymbol{r}_u = 0 \\ (\boldsymbol{n}_v + c \ \boldsymbol{r}_v) \cdot \boldsymbol{r}_v &= 0 \\ \end{aligned} \end{cases}\]

另一方面，\(\boldsymbol{n}\)是单位法向量场，所以

\[(\boldsymbol{n}_u + c \ \boldsymbol{r}_u) \cdot \boldsymbol{n} = (\boldsymbol{n}_v + c \ \boldsymbol{r}_v) \cdot \boldsymbol{n} = 0\]

由于\(\{ \boldsymbol{r}; \boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v, \boldsymbol{n} \}\)是空间\(\mathbb{E}^3\)中的标架，上面的两组式子说明向量\(\boldsymbol{n}_u + c \boldsymbol{r}_u\)，\(\boldsymbol{n}_v + c \boldsymbol{r}_v\)在标架向量\(\boldsymbol{r}_u\)，\(\boldsymbol{r}_v\)，\(\boldsymbol{n}\)上的正交投影都是零，所以\(\boldsymbol{n}_u + c \boldsymbol{r}_u\)，\(\boldsymbol{n}_v + c \boldsymbol{r}_v\)都是零向量，即

\[\begin{cases} \begin{aligned} \boldsymbol{n}_u + c \boldsymbol{r}_u &= \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{n}_v + c \boldsymbol{r}_v &= \boldsymbol{0} \\ \end{aligned} \end{cases}\]

将上式分别对\(u\)，\(v\)求导得到

\[\begin{cases} \begin{aligned} \boldsymbol{n}_{uv} + c_v \boldsymbol{r}_u + c \boldsymbol{r}_{uv} &= \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{n}_{vu} + c_u \boldsymbol{r}_v + c \boldsymbol{r}_{vu} &= \boldsymbol{0} \\ \end{aligned} \end{cases}\]

比较这两个式子得到

\[c_v \boldsymbol{r}_u = c_u \boldsymbol{r}_v\]

因为\(\boldsymbol{r}_u\)，\(\boldsymbol{r}_v\)是线性无关的，上面的式子意味着

\[c_u = c_v = 0\]

即\(c(u, v) = c\)是常数。因此有

\[\mathrm{d} (\boldsymbol{n} + c \boldsymbol{r}) = (\boldsymbol{n}_u + c \boldsymbol{r}_u) \mathrm{d} u + (\boldsymbol{n}_v + c \boldsymbol{r}_v) \mathrm{d} v = \boldsymbol{0}\]

故\(\boldsymbol{n} + c \boldsymbol{r}\)是定义在曲面\(S\)上的常向量场。不妨设有常向量\(\boldsymbol{r}_0\)使得

\[\boldsymbol{n} + c \boldsymbol{r} = c \boldsymbol{r}_0\]

于是

\[\boldsymbol{r} (u, v) - \boldsymbol{r}_0 = -\frac{1}{c} \boldsymbol{n} (u,v)\] \[\big( \boldsymbol{r} (u, v) - \boldsymbol{r}_0 \big)^2 = \frac{1}{c^2}\]

即曲面\(S\)落在以\(\boldsymbol{r}_0\)为中心、以\(\frac{1}{\vert c \vert}\)为半径的球面上。证毕∎

定理4.2的条件的意义是在曲面上的每一点，曲面沿各个方向的弯曲程度都是相同的。这个条件用下一节要介绍的法曲率的概念来表达将会变得更加清晰。定理4.2结论是很强的，它的意思是：如果曲面上在每一个固定点沿各个方向的弯曲程度都是相同的，则它在各个点、沿各个方向的弯曲程度都是相同的。

法曲率

设曲面\(S\)的参数方程是\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)，它上面的曲线\(C\)可以用参数方程

\[\begin{cases} \begin{aligned} u &= u(s) \\ v &= v(s) \end{aligned} \end{cases}\]

来表示，假定这里的\(s\)是曲线的弧长参数。作为空间\(\mathbb{E}^3\)中的曲线，\(C\)的参数方程将是

\[\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u(s), v(s))\]

因此它的单位切向量是

\[\boldsymbol{\alpha} (s) = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} s} = \boldsymbol{r}_u \frac{\mathrm{d} u(s)}{\mathrm{d} s} + \boldsymbol{r}_v \frac{\mathrm{d} v(s)}{\mathrm{d} s}\]

曲率向量是

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}}{\mathrm{d} s} &= \kappa \boldsymbol{\beta} \\ &= \boldsymbol{r}_{uu} \bigg( \frac{\mathrm{d} u(s)}{\mathrm{d} s} \bigg)^2 + 2 \boldsymbol{r}_{uv} \frac{\mathrm{d} u(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} v(s)}{\mathrm{d} s} + \boldsymbol{r}_{vv} \bigg( \frac{\mathrm{d} v(s)}{\mathrm{d} s} \bigg)^2 \\ &+ \boldsymbol{r}_u \frac{\mathrm{d}^2 u(s)}{\mathrm{d} s^2} + \boldsymbol{r}_v \frac{\mathrm{d}^2 v(s)}{\mathrm{d} s^2} \end{aligned}\]

因此曲线\(C\)的曲率向量在曲面的法向量\(\boldsymbol{n}\)上的正交投影是

\[\begin{aligned} \kappa_n &= \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}}{\mathrm{d} s} \cdot \boldsymbol{n} = \kappa (\boldsymbol{\beta} \cdot \boldsymbol{n}) \\ &= L \bigg( \frac{\mathrm{d} u(s)}{\mathrm{d} s} \bigg)^2 + 2M \frac{\mathrm{d} u(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} v(s)}{\mathrm{d} s} + N \bigg( \frac{\mathrm{d} v(s)}{\mathrm{d} s} \bigg)^2 \end{aligned}\]

从上面的表达式可以知道，\(\kappa_n\)只依赖于曲面在该点的第二类基本量\(L\)、\(M\)、\(N\)，以及曲线\(C\)的单位切向量\(\big( \frac{\mathrm{d} u(s)}{\mathrm{d} s}, \frac{\mathrm{d} v(s)}{\mathrm{d} s} \big)\)，通常把\(\kappa_n\)称为曲面\(S\)上曲线\(C\)的法曲率。由此可见，如果曲面\(S\)上由两条曲线\(C_1\)，\(C_2\)在\(p\)处有相同的单位切向量，则这两条曲线在点\(p\)有相同的法曲率。这个结论也称为梅尼埃定理。

命\(\angle (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{n}) = \theta\)是曲线\(C\)的主法向量\(\boldsymbol{\beta}\)与曲面\(S\)的法向量\(\boldsymbol{n}\)之间的夹角，则有

\[\kappa_n = \kappa \cos{\theta}\]

从上式还能得到一个有趣的事实：在曲面\(S\)上考虑经过点\(p = \boldsymbol{r} (u(s), v(s))\)，并且在点\(p\)处彼此相切的所有曲线，则这些曲线在点\(p\)的曲率中心都落在与该切方向垂直的平面(这些曲线的公共的法平面)内直径为\(\frac{1}{\vert \kappa_n \vert}\)的圆周上，如下图所示。

根据关系式\(\frac{1}{\kappa} = \frac{1}{\kappa_n} \cos \theta\)，可以得到曲线\(C\)的曲率中心是

\[\begin{aligned} \boldsymbol{c} &= \boldsymbol{r} (u(s), v(s)) + \frac{1}{\kappa} \boldsymbol{\beta} \\ &= \boldsymbol{r} (u(s), v(s)) + \frac{1}{\vert \kappa_n \vert} \cos \theta \cdot \boldsymbol{\beta} \end{aligned}\]

所以

\[\vert \boldsymbol{c} - \boldsymbol{r} (u(s), v(s)) \vert^2 = \frac{1}{\kappa_n^2} \cos^2 \theta\]

由于曲面上在一点相切的曲线在该点有相同的法曲率，所以法曲率的概念可以抽象出来作为曲面上在一点的切方向的函数。事实上，因为\(s\)是曲线\(\boldsymbol{r} (s) = \boldsymbol{r} (u(s), v(s))\)的弧长参数，所以

\[\vert \boldsymbol{r}'(s) \vert^2 = E \bigg( \frac{\mathrm{d} u(s)}{\mathrm{d} s} \bigg)^2 + 2F \frac{\mathrm{d} u(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} v(s)}{\mathrm{d} s} + G \bigg( \frac{\mathrm{d} v(s)}{\mathrm{d} s} \bigg)^2 = 1\]

即

\[(\mathrm{d} s)^2 = E (\mathrm{d} u)^2 + 2F \mathrm{d} u \mathrm{d} v + G (\mathrm{d} v)^2 = \mathrm{I}\]

带入法曲率\(\kappa_n\)得到

\[\kappa_n = \frac{L (\mathrm{d} u)^2 + 2M \mathrm{d} u \mathrm{d} v + N (\mathrm{d} v)^2}{(\mathrm{d} s)^2} = \frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}}\]

上述表达式的分子和分母都是\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} u)\)的二次齐次多项式，因此它只是\(\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} v}\)的函数。

定义4.1

设正则参数曲面\(S\)的参数方程是\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)，\(\mathrm{I}\)和\(\mathrm{II}\)分别是它的第一基本形式和第二基本形式，则 \(\kappa_n = \frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}} = \frac{L (\mathrm{d} u)^2 + 2M \mathrm{d} u \mathrm{d} v + N (\mathrm{d} v)^2}{E (\mathrm{d} u)^2 + 2F \mathrm{d} u \mathrm{d} v + G (\mathrm{d} v)^2}\) 称为曲面\(S\)在点\((u, v)\)沿切方向\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)的法曲率。

法截面和法截线

因此，曲面\(S\)在点\((u, v)\)处沿切方向\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)的法曲率恰好等于曲面\(S\)上经过点\((u, v)\)、以\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)为切方向的曲线在该点的法曲率。曲面\(S\)在点\((u, v)\)处由切方向\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)和法向量\(\boldsymbol{n} (u, v)\)决定了一个平面，称为曲面\(S\)在该点处由切方向\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)确定的法截面。法截面与曲面\(S\)本身相交成一条平面曲线，它是曲面\(S\)上经过点\((u, v)\)、以\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)为切方向的一条曲线，称为曲面在该点的一条法截线。

根据前面的讨论，曲面\(S\)上所有在点\((u, v)\)处与法截线相切的曲线在该点有相同的法曲率，也就是法截线在该点处的法曲率。由于法截线是曲面\(S\)上经过点\((u, v)\)、以\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)为切方向的平面曲线，它以曲面在该点的法向量\(\boldsymbol{n}\)为法向量，也就是它的主法向量\(\boldsymbol{\beta} = \pm \boldsymbol{n}\)，因此有

\[\kappa = \vert \kappa_n \vert\]

如果规定曲面\(S\)在点\((u, v)\)处由切方向\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)确定的法截面以切方向\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)到曲面的法向量\(\boldsymbol{n} (u, v)\)的旋转方向为正定向，那么上面的结果还可以更准确的描述为

定理4.3

曲面\(S\)在点\((u, v)\)处沿切方向\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)的法曲率\(\kappa_n\)，等于以曲面\(S\)在该点处由切方向\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)确定的法截线作为相应的有向法截面上的平面曲线的相对曲率\(\kappa_r\)。

在直观上，可以把法截面想象为与曲面在一点处垂直(即包含曲面在该点的法线)的「刀」，法截线就是用这把刀在曲面上切割出来的剖面线。法曲率恰好是曲面在该点沿相应的切方向的剖面线的相对曲率。

Euler公式

假定曲面\(S: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)的参数系\((u, v)\)在点\(\boldsymbol{r} (u_0, v_0)\)处是正交的，于是曲面\(S\)在该点的第一基本形式和第二基本形式分别是

\[\begin{cases} \begin{aligned} \mathrm{I} &= E (\mathrm{d} u)^2 + G (\mathrm{d} v)^2 \\ \mathrm{II} &= L (\mathrm{d} u)^2 + 2M \mathrm{d} u \mathrm{d} v + N (\mathrm{d} v)^2 \\ \end{aligned} \end{cases}\]

所以曲面\(S\)在该点的法曲率是

\[\begin{aligned} \kappa_n &= \frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}} = \frac{L (\mathrm{d} u)^2 + 2M \mathrm{d} u \mathrm{d} v + N (\mathrm{d} v)^2}{E (\mathrm{d} u)^2 + G (\mathrm{d} v)^2} \\ &= \frac{L}{E} \bigg( \frac{\sqrt{E} \mathrm{d} u}{\sqrt{E (\mathrm{d} u)^2 + G (\mathrm{d} v)^2}} \bigg)^2 \\ &+ \frac{2M}{\sqrt{EG}} \frac{\sqrt{E} \mathrm{d} u}{\sqrt{E (\mathrm{d} u)^2 + G (\mathrm{d} v)^2}} \frac{\sqrt{G} \mathrm{d} v}{\sqrt{E (\mathrm{d} u)^2 + G (\mathrm{d} v)^2}} \\ &+ \frac{N}{G} \bigg( \frac{\sqrt{G} \mathrm{d} v}{\sqrt{E (\mathrm{d} u)^2 + G (\mathrm{d} v)^2}} \bigg)^2 \end{aligned}\]

用\(\theta\)记切方向\((\mathrm{d}u, \mathrm{d}v)\)与\(u\)-曲线切方向的夹角，则

\[\begin{cases} \begin{aligned} \cos{\theta} &= \frac{\sqrt{E} \mathrm{d} u}{\sqrt{E (\mathrm{d} u)^2 + G (\mathrm{d} v)^2}} \\ \sin{\theta} &= \frac{\sqrt{G} \mathrm{d} v}{\sqrt{E (\mathrm{d} u)^2 + G (\mathrm{d} v)^2}} \\ \end{aligned} \end{cases}\]

因此

\[\begin{aligned} \kappa_n (\theta) &= \frac{L}{E} \cos^2{\theta} + \frac{2M}{\sqrt{EG}} \cos{\theta} \sin{\theta} + \frac{N}{G} \sin^2{\theta} \\ &= \frac{L}{E} \frac{1 + \cos{2 \theta}}{2} + \frac{M}{\sqrt{EG}} \sin{2 \theta} + \frac{N}{G} \frac{1 - \cos{2 \theta}}{2} \\ &= \frac{1}{2} \bigg( \frac{L}{E} + \frac{N}{G} \bigg) + \frac{1}{2} \bigg( \frac{L}{E} - \frac{N}{G} \bigg) \cos{2 \theta} + \frac{M}{\sqrt{EG}} \sin{2 \theta} \end{aligned}\]

命

\[A = \sqrt{\bigg( \frac{1}{2} \bigg( \frac{L}{E} - \frac{N}{G} \bigg) \bigg)^2 + \bigg( \frac{M}{\sqrt{EG}} \bigg)^2}\]

则当\(A \neq 0\)是可以引入辅助角\(\theta_0\)使得

\[\begin{cases} \begin{aligned} \cos{2 \theta_0} &= \frac{1}{2A} \bigg( \frac{L}{E} - \frac{N}{G} \bigg) \\ \sin{2 \theta_0} &= \frac{M}{A \sqrt{EG}} \\ \end{aligned} \end{cases}\]

于是

\[\begin{aligned} \kappa_n (\theta) &= \frac{1}{2} \bigg( \frac{L}{E} + \frac{N}{G} \bigg) + A (\cos{2 \theta} \cos{2 \theta_0} + \sin{2 \theta} \sin{2 \theta_0}) \\ &= \frac{1}{2} \bigg( \frac{L}{E} + \frac{N}{G} \bigg) + A \cos{2(\theta - \theta_0)} \end{aligned}\]

由此可见，当\(\theta = \theta_0\)时，法曲率\(\kappa_n (\theta)\)取最大值

\[\kappa_1 = \frac{1}{2} \bigg( \frac{L}{E} + \frac{N}{G} \bigg) + \sqrt{\bigg( \frac{1}{2} \bigg( \frac{L}{E} - \frac{N}{G} \bigg) \bigg)^2 + \bigg( \frac{M}{\sqrt{EG}} \bigg)^2}\]

当\(\theta = \theta_0 + \frac{\pi}{2}\)时，法曲率\(\kappa_n (\theta)\)取最小值

\[\kappa_2 = \frac{1}{2} \bigg( \frac{L}{E} + \frac{N}{G} \bigg) - \sqrt{\bigg( \frac{1}{2} \bigg( \frac{L}{E} - \frac{N}{G} \bigg) \bigg)^2 + \bigg( \frac{M}{\sqrt{EG}} \bigg)^2}\]

而当\(A = 0\)时，法曲率\(\kappa_n (\theta)\)与角\(\theta\)无关，即

\[\kappa_n (\theta) = \frac{1}{2} \bigg( \frac{L}{E} + \frac{N}{G} \bigg)\]

无论如何，上面的结果可以叙述成下列定理：

定理4.4

正则参数曲面在任意一个固定点，其法曲率必定在两个彼此正交的切方向上分别取最大值和最小值。

定义4.2

正则参数曲面在任意一个固定点，其法曲率取最大值和最小值的方向称为曲面在该点的主方向，相应的法曲率称为曲面在该点的主曲率。

根据法曲率\(\kappa_n (\theta)\)的表达式，沿方向角为\(\theta\)的切方向的法曲率可以由两个主曲率来表示

\[\kappa_n (\theta) = \kappa_1 \cos^2{(\theta - \theta_0)} + \kappa_2 \sin^2{(\theta - \theta_0)}\]

上式也称为法曲率的Euler公式。

渐近方向和渐近曲线

定义4.3

在曲面\(S\)上一点，其法曲率为零的切方向称为曲面\(S\)在该点的渐近方向。如果曲面\(S\)上一条曲线在每一点的切方向都是曲面在该点的渐近方向，则称该曲线是曲面\(S\)上的渐近曲线。

在一个固定点\((u, v)\)，渐近方向\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)是二次方程

\[L (\mathrm{d} u)^2 + 2M \mathrm{d} u \mathrm{d} v + N (\mathrm{d} v)^2 = 0\]

的解。因此，曲面在点\((u, v)\)有实渐近方向的充分必要条件是

\[LN - M^2 \leq 0\]

当\(LN - M^2 \lt 0\)时有两个不同的实渐近方向，它们是

\[\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} v} = \frac{-M \pm \sqrt{M^2 - LN}}{L} = \frac{N}{-M \mp \sqrt{M^2 - LN}}\]

当\(LN - M^2 = 0\)时有一个实渐近方向(或者认为两个实渐近方向重合在一起)，它是

\[\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} v} = -\frac{M}{L} = -\frac{N}{M}\]

把\((u, v)\)看作动点则二次方程\(L (\mathrm{d} u)^2 + 2M \mathrm{d} u \mathrm{d} v + N (\mathrm{d} v)^2 = 0\)是渐近曲线的微分方程。特别是，如果曲面上条件\(LN - M^2 \lt 0\)处处成立，则在曲面上存在两个处处线性无关的渐近方向场。于是根据定理3.2，在曲面上存在由渐近曲线构成的参数曲线网。

定理4.5

曲面上的参数曲线网是渐近曲线网的充分必要条件是\(L = N = 0\)。

证明如果曲面上的参数曲线网是渐近曲线网，即\(u\)-曲线和\(v\)-曲线都是渐近曲线，于是\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v) = (1, 0)\)和\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v) = (0, 1)\)都是渐近方向。将它们分别带入二次方程\(L (\mathrm{d} u)^2 + 2M \mathrm{d} u \mathrm{d} v + N (\mathrm{d} v)^2 = 0\)便得到\(L = N = 0\)。

反过来，如果\(L = N = 0\)，则二次方程成为

\[2M \mathrm{d} u \mathrm{d} v = 0\]

它的解是\(\mathrm{d} u = 0\)和\(\mathrm{d} v = 0\)，即\(u\)-曲线和\(v\)-曲线都是渐近曲线。证毕∎

定理4.6

曲面上的一条曲线是渐近曲线，当且仅当或者它是一条直线，或者它的密切平面恰好是曲面的切平面。

证明根据法曲率公式

\[\kappa_n = \kappa \cos{\theta}\]

其中\(\theta\)是曲线的主法向量\(\boldsymbol{\beta}\)与曲面的法向量\(\boldsymbol{n}\)之间的夹角。因此，\(\kappa_n = 0\)的充分必要条件是\(\kappa = 0\)或者\(\cos{\theta} = 0\)。如果处处有\(\kappa = 0\)，则该曲线是直线。如果在曲线上有一点使\(\kappa \neq 0\)，则必定有\(\cos{\theta} = 0\)，故\(\theta = \frac{\pi}{2}\)，于是\(\boldsymbol{\beta}\)与曲面的法向量\(\boldsymbol{n}\)垂直，即曲线的密切平面与曲面相切。证毕∎

Weingarten映射和主曲率

Gauss映射

设\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u,v)\)是一块正则参数曲面，它在每一点处有一个确定的单位法向量\(\boldsymbol{n} (u, v)\)。将\(\boldsymbol{n} (u, v)\)在\(\mathbb{E}^3\)中平行移动到坐标原点\(O\)，那么它的终点便落在\(\mathbb{E}^3\)中的单位球面\(\Sigma\)上，于是得到从曲面\(S\)到\(\Sigma\)的一个可微映射\(g: S \rightarrow \Sigma\)使得

\[g (\boldsymbol{r} (u, v)) = \boldsymbol{n} (u, v)\]

这个映射称为Gauss映射。很明显，当曲面\(S\)弯曲得比较厉害时，则当曲面\(S\)上的点变动时其相应的法向量的变化就比较大，于是法向量场在\(\Sigma\)上所扫过的面积与曲面上的点扫过的面积之比就比较大，如下图所示。这正是Gauss观察曲面形状的出发点。据说，Gauss的灵感来自他担任天文台台长时从事大地测量的研究工作。

Weingarten映射

在正则参数曲面之间的对应一节我们提到过两个曲面之间的可微映射在对应点的切空间之间诱导出一个线性映射，称为该映射的切映射。这样，Gauss映射\(g: S \rightarrow \Sigma\)便诱导出从曲面\(S\)在点\(p\)的切空间\(T_p S\)到球面\(\Sigma\)在像点\(g(p)\)的切空间\(T_{g(p)} \Sigma\)的切映射

\[g_* : T_p S \rightarrow T_{g(p)} \Sigma\]

下面我们来求这个切映射的表达式：

设曲面\(S\)上的一条曲线的参数方程是

\[\begin{cases} \begin{aligned} u &= u(t) \\ v &= v(t) \end{aligned} \end{cases}\]

于是它在Gauss映射下的像是

\[g (\boldsymbol{r} (u(t), v(t))) = \boldsymbol{n} (u(t), v(t))\]

根据诱导切映射的定义

\[g_* \bigg( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t} \bigg) = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{n} (u(t), v(t))}{\mathrm{d} t} = \boldsymbol{n}_u \frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t} + \boldsymbol{n}_v \frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}\]

因此

\[\begin{cases} \begin{aligned} g_* (\boldsymbol{r}_u) &= \boldsymbol{n}_u \\ g_* (\boldsymbol{r}_v) &= \boldsymbol{n}_v \end{aligned} \end{cases}\]

由于\(\boldsymbol{n}\)是球面\(\Sigma\)的向径，因此它本身也是球面\(\Sigma\)的法向量，这就是说曲面\(S\)在点\(p\)的切平面和球面\(\Sigma\)在点\(g(p)\)的切平面是彼此平行的，特别是切空间\(T_p S\)和切空间\(T_{g(p)} \Sigma\)可以自然地等同起来，于是球面\(\Sigma\)的切向量\(\boldsymbol{n}_u\)、\(\boldsymbol{n}_v\)可以看作曲面\(S\)的切向量。这样，切映射\(g_*\)成为从切空间\(T_p S\)到它自身的线性映射。命

\[W = -g_* : T_p S \rightarrow T_{p} S\]

称\(W\)为曲面\(S\)在点\(p\)的Weingarten映射。据线性代数的理论，在具有欧氏内积的向量空间上的自共轭线性变换和二次型是彼此确定的。我们这里定义的Weingarten映射和曲面的第二基本形式恰好有这种关系。

定理4.7

曲面\(S\)的第二基本形式\(\mathrm{II}\)可以用Weingarten映射表示成 \(\mathrm{II} = W(\mathrm{d} \boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}\) 。

证明曲面\(S\)上任意一个切向量可以表示成

\[\mathrm{d} \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_u \mathrm{d} u + \boldsymbol{r}_v \mathrm{d} v\]

其中\(\mathrm{d} u\)、\(\mathrm{d} v\)是切向量的分量。利用Weingarten映射的定义有

\[\begin{aligned} W(\mathrm{d} \boldsymbol{r}) &= W (\boldsymbol{r}_u \mathrm{d} u + \boldsymbol{r}_v \mathrm{d} v) = -g_* (\boldsymbol{r}_u \mathrm{d} u + \boldsymbol{r}_v \mathrm{d} v) \\ &= -g_* (\boldsymbol{r}_u) \mathrm{d} u - g_* (\boldsymbol{r}_v) \mathrm{d} v \\ &= -(\boldsymbol{n}_u \mathrm{d} u + \boldsymbol{n}_v \mathrm{d} v) \\ &= - \mathrm{d} \boldsymbol{n} \end{aligned}\]

所以

\[\mathrm{II} = - \mathrm{d} \boldsymbol{n} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r} = W(\mathrm{d} \boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}\]

证毕∎

定理4.8

Weingarten映射\(W\)是从切空间\(T_p S\)到它自身的共轭映射，即对于曲面\(S\)在点\((u, v)\)的任意两个切方向\(\mathrm{d} \boldsymbol{r}\)和\(\delta \boldsymbol{r}\)满足 \(W(\mathrm{d} \boldsymbol{r}) \cdot \delta \boldsymbol{r} = \mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot W(\delta \boldsymbol{r})\) 。

证明设

\[\begin{cases} \begin{aligned} \mathrm{d} \boldsymbol{r} &= \boldsymbol{r}_u \mathrm{d} u + \boldsymbol{r}_v \mathrm{d} v \\ \delta \boldsymbol{r} &= \boldsymbol{r}_u \delta u + \boldsymbol{r}_v \delta v \\ \end{aligned} \end{cases}\]

利用Weingarten映射的定义有

\[\begin{cases} \begin{aligned} W(\mathrm{d} \boldsymbol{r}) &= - (\boldsymbol{n}_u \mathrm{d} u + \boldsymbol{n}_v \mathrm{d} v)\\ W(\delta \boldsymbol{r}) &= - (\boldsymbol{n}_u \delta u + \boldsymbol{n}_v \delta v) \end{aligned} \end{cases}\]

这样

\[\begin{aligned} W(\mathrm{d} \boldsymbol{r}) \cdot \delta \boldsymbol{r} &= -(\boldsymbol{n}_u \mathrm{d} u + \boldsymbol{n}_v \mathrm{d} v) \cdot (\boldsymbol{r}_u \delta u + \boldsymbol{r}_v \delta v ) \\ &= L \mathrm{d} u \delta u + M (\mathrm{d} u \delta v + \mathrm{d} v \delta u) + N \mathrm{d} v \delta u \\ &= -(\boldsymbol{r}_u \mathrm{d} u + \boldsymbol{r}_v \mathrm{d} v) \cdot (\boldsymbol{n}_u \delta u + \boldsymbol{n}_v \delta v) \\ &= \mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot W(\delta \boldsymbol{r}) \end{aligned}\]

证毕∎

如果有非零切向量\(\mathrm{d} \boldsymbol{r}\)和实数\(\lambda\)，使得

\[W(\mathrm{d} \boldsymbol{r}) = \lambda \mathrm{d} \boldsymbol{r}\]

则称\(\lambda\)是Weingarten映射的特征值，并且把\(\mathrm{d} \boldsymbol{r}\)称为对应于特征值\(\lambda\)的特征向量。此时

\[W(\mathrm{d} \boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r} = \lambda \mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}\]

由定理4.7可知，曲面沿特征向量\(\mathrm{d} \boldsymbol{r}\)的法曲率是

\[\kappa_n = \frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}} = \frac{W(\mathrm{d} \boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}} = \lambda\]

这说明，如果\(\lambda\)是Weingarten映射\(W\)的一个实特征值，则它正好是曲面在该点沿与它对应的特征方向的法曲率。

定理4.7告诉我们，Weingarten映射\(W: T_p S \rightarrow T_{p} S\)是自共轭映射。根据线性代数理论，从一个二维向量空间到它自身的自共轭映射正好有两个实特征值(这两个实特征值可能相等)，并且对应地有两个线性无关的实特征向量。特别地，当这两个实特征值不相等时，对应的实特征方向是完全确定的，并且它们彼此正交；如果这两个实特征值相等，则曲面在该点的任意一个切方向都是特征方向。由此可见，曲面在每一点\(p\)的Weingarten映射\(W: T_p S \rightarrow T_{p} S\)必定有两个特征值，并且不管那两个特征值是否相等，在点\(p\)总是有两个彼此正交的特征方向。

根据上面的讨论，我们有如下定理：

定理4.9

正则参数曲面在每一点的Weingarten映射的两个特征值恰好是该曲面在这一点的主曲率，对应的特征方向是曲面的主方向。

证明我们再切空间\(T_p S\)中总是可以取单位正交基底\(\{ \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2 \}\)，使得切向量\(\boldsymbol{e}_1\)、\(\boldsymbol{e}_2\)是曲面\(S\)在点\(p\)的特征方向，对应的特征值是\(\lambda_1 \geq \lambda_2\)，则

\[\begin{cases} \begin{aligned} W (\boldsymbol{e}_1) &= \lambda_1 \boldsymbol{e}_1 \\ W (\boldsymbol{e}_2) &= \lambda_2 \boldsymbol{e}_2 \\ \end{aligned} \end{cases}\]

现在设\(\boldsymbol{e}\)是曲面\(S\)在点\(p\)的任意一个切向量，于是可以把它表示为

\[\boldsymbol{e} = \cos{\theta} \boldsymbol{e}_1 + \sin{\theta} \boldsymbol{e}_2\]

则

\[\begin{aligned} W(\boldsymbol{e}) &= \cos{\theta} W (\boldsymbol{e}_1) + \sin{\theta} W (\boldsymbol{e}_2) \\ &= \lambda_1 \cos{\theta} \boldsymbol{e}_1 + \lambda_2 \sin{\theta} \boldsymbol{e}_2 \end{aligned}\]

因此沿切方向\(\boldsymbol{e}\)的法曲率是

\[\begin{aligned} \kappa_\theta &= \frac{W(\boldsymbol{e}) \cdot \boldsymbol{e}}{\boldsymbol{e} \cdot \boldsymbol{e}} \\ &= (\lambda_1 \cos{\theta} \boldsymbol{e}_1 + \lambda_2 \sin{\theta} \boldsymbol{e}_2) \cdot (\cos{\theta} \boldsymbol{e}_1 + \sin{\theta} \boldsymbol{e}_2) \\ &= \lambda_1 \cos^2{\theta} + \lambda_2 \sin^2{\theta} \\ &= \lambda_1 - (\lambda_1 - \lambda_2) \sin^2{\theta} \\ &= \lambda_2 + (\lambda_1 - \lambda_2) \cos^2{\theta} \\ \end{aligned}\]

由此可见，法曲率\(\kappa_n (\theta)\)在\(\theta = 0\)时取最大值\(\lambda_1\)，\(\theta = \frac{\pi}{2}\)时取最小值\(\lambda_2\)。换言之，Weingarten映射的特征值\(\lambda_1 \geq \lambda_2\)分别是曲面在该点的主曲率\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)，因而其对应的特征方向是曲面在该点的主方向。证毕∎

现在可以把Euler公式重新叙述成如下定理：

定理4.10 (Euler公式)

设\(\boldsymbol{e}_1\)、\(\boldsymbol{e}_2\)是曲面\(S\)在点\(p\)处的两个彼此正交的主方向单位向量，对应的主曲率是\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)，则曲面\(S\)在点\(p\)处沿任意一个切向量\(\boldsymbol{e} = \cos{\theta} \boldsymbol{e}_1 + \sin{\theta} \boldsymbol{e}_2\)的法曲率是 \(\kappa_n (\theta) = \kappa_1 \cos^2{\theta} + \kappa_2 \sin^2{\theta}\) 。

当\(\kappa_1 = \kappa_2\)时，对任意的切方向\(\theta\)都有\(\kappa_n (\theta) = \kappa_1 = \kappa_2\)，这正是主方向不确定的情形。我们把这样的点称为曲面的脐点。由于在脐点，法曲率

\[\kappa_n = \frac{L (\mathrm{d} u)^2 + 2M \mathrm{d} u \mathrm{d} v + N (\mathrm{d} v)^2}{E (\mathrm{d} u)^2 + 2F \mathrm{d} u \mathrm{d} v + G (\mathrm{d} v)^2} \\\]

与切方向\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)无关，即

\[(L - \kappa_n E) (\mathrm{d} u)^2 + 2 (M - \kappa_n F) \mathrm{d} u \mathrm{d} v + (N - \kappa_n G) (\mathrm{d} v)^2 = 0\]

是关于\(\mathrm{d} u\)、\(\mathrm{d} v\)的恒等式，所以在该点有

\[\frac{L}{E} = \frac{M}{F} = \frac{N}{G}\]

由此可见脐点是曲面的第一类基本量和第二类基本量成比例的点。如果这个比例是零，则称该脐点是平点；如果这个比例不是零，则称该脐点是圆点。按照这样的术语，定理4.1和定理4.2可以重述为：

命题曲面\(S\)是平面，当且仅当曲面\(S\)上的点都是平点；曲面\(S\)是球面，当且仅当曲面\(S\)上的点都是圆点。

曲率线

定义4.4

设\(C\)是正则曲面\(S\)上的一条曲线。如果曲线\(C\)在每一点的切向量都是曲面\(S\)在该点的主方向，则称曲线\(C\)是曲面\(S\)上的一条曲率线。

从定义可知，曲率线是曲面\(S\)上主方向场的积分曲线。设曲面\(S: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)上的一条曲线\(C\)的参数方程是

\[\begin{cases} \begin{aligned} u &= u(t) \\ v &= v(t) \end{aligned} \end{cases}\]

根据定义4.4，曲线\(C\)是曲面\(S\)上的曲率线的条件是

\[W \bigg( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} (u(t), v(t))}{\mathrm{d} t} \bigg) = \lambda \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} (u(t), v(t))}{\mathrm{d} t}\]

由Weingarten映射的定义得知

\[W \bigg( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} (u(t), v(t))}{\mathrm{d} t} \bigg) = -\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{n} (u(t), v(t))}{\mathrm{d} t}\]

由此得到曲线\(C\)是曲面\(S\)上的曲率线的判别准则：

定理4.11 (Rodriques定理)

曲面\(S: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)上的一条曲线\(C: u=u(t), v=v(t)\)是曲率线的充分必要条件是，曲面\(S\)沿曲线\(C\)的法向量场\(\boldsymbol{n} (u(t), v(t))\)沿曲线\(C\)的导数与曲线\(C\)相切，即 \(\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{n} (u(t), v(t))}{\mathrm{d} t} \bigg\Vert \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} (u(t), v(t))}{\mathrm{d} t}\) 。

根据定理4.11还可以得到曲率线的一个特征性质：

定理4.12

曲面\(S\)上的曲线\(C\)是曲率线的充分必要条件是，曲面\(S\)沿曲线\(C\)的法线构成一个可展曲面。

证明设曲面\(S: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)上的一条曲线\(C\)的参数方程是

\[\begin{cases} \begin{aligned} u &= u(s) \\ v &= v(s) \end{aligned} \end{cases}\]

其中\(s\)是弧长参数。设曲面\(S\)沿曲线\(C\)的单位法向量是\(\boldsymbol{n} = \boldsymbol{n} (u(s), v(s))\)，因此由曲面\(S\)上沿曲线\(C\)的法线构成的直纹面是

\[\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (s) + t \boldsymbol{n} (s)\]

其中\(\boldsymbol{r} (s) = \boldsymbol{r} (u(s), v(s))\)。根据定理3.9，这个直纹面是可展曲面的充分必要条件是

\[\big( \boldsymbol{r}'(s), \boldsymbol{n} (s), \boldsymbol{n}' (s) \big) = 0\]

由于\(\boldsymbol{n} (s)\)是曲面\(S\)的单位法向量，所以\(\boldsymbol{r}'(s) \cdot \boldsymbol{n} (s) = 0\)，\(\boldsymbol{n}'(s) \cdot \boldsymbol{n} (s) = 0\)。因此\(\boldsymbol{n} (s) \parallel (\boldsymbol{r}'(s) \times \boldsymbol{n}'(s))\)，不妨设

\[\boldsymbol{r}'(s) \times \boldsymbol{n}'(s) = \lambda \boldsymbol{n} (s)\]

带入混合积有

\[0 = - \big( \boldsymbol{r}'(s) \times \boldsymbol{n}'(s) \big) \cdot \boldsymbol{n} (s) = \lambda \boldsymbol{n} (s) \cdot \boldsymbol{n} (s) = \lambda\]

故

\[\boldsymbol{r}'(s) \times \boldsymbol{n}'(s) = \boldsymbol{0} \Leftrightarrow \boldsymbol{r}'(s) \parallel \boldsymbol{n}'(s)\]

由此可见，曲面\(S\)沿曲线\(C\)的法线构成可展曲面的充分必要条件是\(\boldsymbol{r}'(s) \parallel \boldsymbol{n}'(s)\)，即\(C\)是曲面\(S\)上的曲率线。证毕∎

主方向和主曲率的计算

根据法曲率的Euler公式，曲面在一点的主曲率是曲面在该点的法曲率的最大值和最小值。因此，计算主方向和主曲率是了解曲面在该点的弯曲情况的重要手段。在上一节已经知道主方向和主曲率恰好是曲面在这一点的Weingarten映射的特征方向和特征值，因此求曲面主方向和主曲率的问题归结为求Weingarten映射的特征方向和特征值。

平均曲率和Gauss曲率

设曲面\(S\)的方程是\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)。假定\(\delta \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_u \delta u + \boldsymbol{r}_v \delta v\)是曲面在点\((u, v)\)的一个主方向，即\((\delta u, \delta v) \neq \boldsymbol{0}\)，并且有实数\(\lambda\)使得

\[W(\delta \boldsymbol{r}) = \lambda \delta \boldsymbol{r}\]

将上式展开得到

\[- (\boldsymbol{n}_u \delta u + \boldsymbol{n}_v \delta v) = \lambda (\boldsymbol{r}_u \delta u + \boldsymbol{r}_v \delta v)\]

将上式分别与切向量\(\boldsymbol{r}_u\)、\(\boldsymbol{r}_v\)作内积，得到

\[\begin{cases} \begin{aligned} L \delta u + M \delta v &= \lambda (E \delta u + F \delta v) \\ M \delta u + N \delta v &= \lambda (F \delta u + G \delta v) \\ \end{aligned} \end{cases}\]

所以\((\delta u, \delta v)\)应该是线性方程组

\[\begin{cases} \begin{aligned} (L - \lambda E) \delta u + (M - \lambda F) \delta v &= 0 \\ (M - \lambda F) \delta u + (N - \lambda G) \delta v &= 0 \\ \end{aligned} \end{cases}\]

的非零解。根据线性方程组理论，线性齐次方程组有非零解的充分必要条件是，它的系数行列式为零，即\(\lambda\)要满足二次方程

\[\begin{vmatrix} L - \lambda E & M - \lambda F \\ M - \lambda F & N - \lambda G \end{vmatrix} = 0\]

将它展开得到

\[\lambda^2 - \frac{LG - 2MF + NE}{EG - F^2} \lambda + \frac{LN - M^2}{EG - F^2} = 0\]

根据定理4.9知道，二次方程必定有两个实根\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)。这个事实也能够用二次方程的的判别式来检验。实际上，二次方程的判别式是

\[\begin{aligned} &(LG - 2MF + NE)^2 - 4 (EG - F^2) (LN - M^2) \\ =& \bigg( (EN - GL) - \frac{2F}{E} (EM - FL) + \frac{2L}{E} (EG- F^2) \bigg)^2 - 4 (EG - F^2) (LN - M^2) \\ =& \bigg( (EN - GL) - \frac{2F}{E} (EM - FL) \bigg)^2 + \frac{4 (EG - F^2)}{E^2} (EM - FL)^2 \geq 0 \end{aligned}\]

由二次方程的系数与根的关系得知

\[\begin{cases} \begin{aligned} \kappa_1 + \kappa_2 &= 2H = \frac{LG - 2MF + NE}{EG - F^2} \\ \kappa_1 \kappa_2 &= K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \end{aligned} \end{cases}\]

我们把\(H = \frac{1}{2} (\kappa_1 + \kappa_2)\)称为曲面的平均曲率，把\(K = \kappa_1 \kappa_2\)称为曲面的Gauss曲率或总曲率。这样，主曲率是方程

\[\lambda^2 - 2H \lambda + K = 0\]

的根，于是

\[\begin{cases} \begin{aligned} \kappa_1 &= H + \sqrt{H^2 - K} \\ \kappa_2 &= H - \sqrt{H^2 - K} \end{aligned} \end{cases}\]

直接验证可知，二次方程在曲面保持定向的参数变换下是不变的，因此平均曲率\(H\)和Gauss曲率\(K\)的表达式在曲面保持定向的参数变换下也是不变的。

定理4.13

曲面的主曲率\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)是定义在曲面上的连续函数，并且在每一个非脐点的一个邻域内，主曲率\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)是连续可微的函数。

证明已经假定曲面的参数方程至少是三次连续可微的，而曲面的第一类基本量和第二类基本量是曲面的参数方程经过两次求偏导得到的，因此平均曲率\(H\)和Gauss曲率\(K\)都是连续可微的函数。根据主曲率的计算公式，主曲率\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)是连续的。在非脐点的邻域内我们有\(\kappa_1 =\neq \kappa_2\)，即\(H^2 - K \gt 0\)，因此\(\sqrt{H^2 - K}\)还是连续可微的，故主曲率\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)是连续可微的函数。证毕∎

现在把求主方向和主曲率的方法综述如下：

按照公式用曲面的第一类基本量和第二类基本量计算曲面的平均曲率\(H\)和Gauss曲率\(K\)，并解二次方程得到曲面的主曲率\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)。
根据脐点和非脐点的情形，分两种情况来处理：

a. 在非脐点的情形，\(\kappa_1 \neq \kappa_2\)，逐次将\(\kappa_1\)和\(\kappa_2\)带入线性方程组

\[\begin{cases} \begin{aligned} (L - \lambda E) \delta u + (M - \lambda F) \delta v &= 0 \\ (M - \lambda F) \delta u + (N - \lambda G) \delta v &= 0 \\ \end{aligned} \end{cases}\]

因此对应于\(\kappa_1\)的主方向是

\[\frac{\delta u}{\delta v} = -\frac{M - \kappa_1 F}{L - \kappa_1 E} = -\frac{N - \kappa_1 G}{M - \kappa_1 F}\]

对应于\(\kappa_2\)的主方向是

\[\frac{\delta u}{\delta v} = -\frac{M - \kappa_2 F}{L - \kappa_2E} = -\frac{N - \kappa_2 G}{M - \kappa_2 F}\]

b. 在脐点的情形，\(\kappa_1 = \kappa_2 = \frac{L}{E} = \frac{M}{F} = \frac{N}{G}\)。此时任意的非零数组\((\delta u, \delta v)\)都是方程组的解，即主方向是不定的。

上述求解的次序是先求主曲率、后求主方向。这种求解的过程也可以倒过来，即为先求主方向，后求主曲率的方法。将线性方程组改写，可以得到

\[\begin{cases} \begin{aligned} (L \delta u + M \delta v) - \lambda (E \delta u + F \delta v) &= 0 \\ (M \delta u + N \delta v) - \lambda (F \delta u + G \delta v) &= 0 \\ \end{aligned} \end{cases}\]

因此

\[\lambda = \frac{L \delta u + M \delta v}{E \delta u + F \delta v} = \frac{M \delta u + N \delta v}{F \delta u + G \delta v}\]

上式说明，主方向\((\delta u, \delta v)\)必须满足方程

\[\begin{vmatrix} L \delta u + M \delta v & E \delta u + F \delta v \\ M \delta u + N \delta v & F \delta u + G \delta v \end{vmatrix} = 0\]

将上式展开得到

\[(LF - ME) (\delta u)^2 + (LG - NE) \delta u \delta v + (MG - NF) (\delta v)^2 = 0\]

于是可以先解上面的二次方程，得到主方向\(\delta u : \delta v\)，然后带入\(\lambda\)得到相应的主曲率。

为了便于记忆，用\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)代替\((\delta u, \delta v)\)，并且把二次方程改写为

\[\begin{vmatrix} (\mathrm{d} v)^2 & - \mathrm{d} u \mathrm{d} v & (\mathrm{d} u)^2 \\ E & F & G \\ L & M & N \\ \end{vmatrix} = 0\]

对于固定的点，上式是求主方向\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v)\)的方程；而如果把\((u, v)\)看作动点，则上式是曲面上曲率线所满足的微分方程。

定理4.14

在曲面\(S: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)上的任意一个固定点\((u, v)\)，参数曲线的方向是彼此正交的主方向当且仅当在该点有\(F = M = 0\)。此时，\(u\)-曲线方向的主曲率是\(\kappa_1 = \frac{L}{E}\)，\(v\)-曲线方向的主曲率是\(\kappa_2 = \frac{N}{G}\)。

证明必要性：因为\(\boldsymbol{r}_u\)和\(\boldsymbol{r}_v\)彼此正交，故\(F = 0\)。又假定\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v) = (1, 0)\)，代入曲率线的二次方程得到\(EM = 0\)，即\(M = 0\)。

充分性：假定在固定点\((u, v)\)有\(F = M = 0\)，则曲率线的二次方程成为

\[(EN - GL) \mathrm{d} u \mathrm{d} v = 0\]

因此\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v) = (1, 0)\)和\((\mathrm{d} u, \mathrm{d} v) = (0, 1)\)都是上述方程的解，即参数曲线的方向是彼此正交的主方向。将上述解带入主曲率计算公式可以得到相应的主曲率是

\[\begin{cases} \begin{aligned} \kappa_1 &= \frac{L}{E} \\ \kappa_2 &= \frac{N}{G} \\ \end{aligned} \end{cases}\]

证毕∎

定理4.14的直接推论是

定理4.15

在曲面\(S\)上，参数曲线网是正交的曲率线网的充分必要条件是\(F = M \equiv 0\),并且此时曲面的两个基本形式分别是 \(\begin{cases} \begin{aligned} \mathrm{I} &= E (\mathrm{d} u)^2 + G (\mathrm{d} v)^2 \\ \mathrm{II} &= \kappa_1 E (\mathrm{d} u)^2 + \kappa_2 G (\mathrm{d} v)^2 \end{aligned} \end{cases}\) ，其中\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)是曲面的主曲率。

定理4.15表明，若在曲面上取正交的曲率线网作为曲面的参数曲线网时，则它的两个基本形式就能够写成十分简单的表达式。问题是这样的参数曲线网是否存在？我们知道，在曲面上由非脐点构成的集合是一个开集。当非脐点集是非空集的情形，定理4.13断言主曲率函数\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)是这个非空开集上的连续可微函数，而且在每一点有两个完全确定的彼此正交的主方向。因此在非脐点集上由两个连续可微的、彼此正交的主方向场。由定理3.2容易得到下面有重要理论价值的定理：

定理4.16

在正则曲面\(S\)上的每一个非脐点的一个邻域内存在参数系\((u, v)\)，使得参数曲线构成彼此正交的曲率线网。

如果在曲面上，脐点集构成一个开集，则由定理4.1和定理4.2得知这一片曲面是平面或球面，于是它上面的任意的正交参数曲线网都是正交的曲率线网。在孤立脐点的邻域内，情况是十分复杂的，不能保证正交曲率线网的存在性。但是无论如何，在曲面上任意一个固定点\(p\)的邻域内总是可以取正交参数曲线网使得在该点\(p\)沿参数曲线的方向是曲面的主方向。

Gauss曲率的几何意义

设曲面\(S\)的方程是\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)。根据Weingarten映射的定义

\[\begin{cases} \begin{aligned} W(\boldsymbol{r}_u) = - \boldsymbol{n}_u \\ W(\boldsymbol{r}_v) = - \boldsymbol{n}_v \\ \end{aligned} \end{cases}\]

因为\(\boldsymbol{n}_u\)、\(\boldsymbol{n}_v\)是曲面\(S\)的切向量，不妨设

\[\begin{pmatrix} - \boldsymbol{n}_u \\ - \boldsymbol{n}_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_u \\ \boldsymbol{r}_v \end{pmatrix}\]

将上式两边分别与向量组\((\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v)\)作内积

\[\begin{pmatrix} - \boldsymbol{n}_u \\ - \boldsymbol{n}_v \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_u & \boldsymbol{r}_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_u \\ \boldsymbol{r}_v \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_u & \boldsymbol{r}_v \end{pmatrix}\]

得到

\[\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \\ \end{pmatrix}\]

所以

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \\ \end{pmatrix}^{-1}\]

对于2×2可逆矩阵容易知道其逆矩阵的公式是

\[\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \\ \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{EG - F^2} \begin{pmatrix} G & -F \\ -F & E \\ \end{pmatrix}\]

因此

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{EG - F^2} \begin{pmatrix} LG-MF & -LF+ME \\ MG-NF & -MF+NE \\ \end{pmatrix}\]

所以

\[W \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_u \\ \boldsymbol{r}_v \end{pmatrix} = \frac{1}{EG - F^2} \begin{pmatrix} LG-MF & -LF+ME \\ MG-NF & -MF+NE \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_u \\ \boldsymbol{r}_v \end{pmatrix}\]

线性变换在某基底下的矩阵的迹和行列式是线性变换的不变量，它们与基底的选取无关。从上式中不难发现Weingarten映射\(W\)在自然基底\((\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v)\)的矩阵的迹和行列式分别是\(2H\)和\(K\)，即

\[\begin{cases} \begin{aligned} 2H &= a_{11} + a_{22} = \frac{LG - 2MF + NE}{EG - F^2} \\ K &= a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \end{aligned} \end{cases}\]

在这里，我们顺便能够得到Gauss曲率的几何意义。将\(\boldsymbol{n}_u\)和\(\boldsymbol{n}_v\)进行叉乘，得到

\[\boldsymbol{n}_u \times \boldsymbol{n}_v = (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) \boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v = K \boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v\]

因此

\[\vert \boldsymbol{n}_u \times \boldsymbol{n}_v \vert = \vert K \vert \cdot \vert \boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v \vert\]

面积元素\(\mathrm{d} \sigma = \vert \boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v \vert \mathrm{d} u \mathrm{d} v\)实质上是曲面\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)上由参数曲线\(u = u_0\)，\(u = u_0 + \mathrm{d} u\)，\(v = v_0\)，\(v = v_0 + \mathrm{d} v\)围成的小区域的面积，它在Gauss映射下的像的面积是\(\mathrm{d} \sigma_0 = \vert \boldsymbol{n}_u \times \boldsymbol{n}_v \vert \mathrm{d} u \mathrm{d} v\)，因此上式成为

\[\mathrm{d} \sigma = \vert K \vert \mathrm{d} \sigma_0\]

即

\[\vert K \vert = \frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \sigma_0}\]

如果\(D\)是曲面\(S\)上围绕点\(p\)的一个邻域，用\(g(D)\)表示它在Gauss映射下的像，那么\(g(D)\)的面积是

\[A(g(D)) = \int_{g(D)} {d} \sigma_0 = \int_D \vert K \vert {d} \sigma\]

利用重积分的中值定理并且让区域\(D\)收缩于一点\(p\)取极限得到

\[\vert K (p) \vert = \lim_{D \rightarrow p} \frac{A(g(D))}{A(D)}\]

由此可见，曲面\(S\)在点\(p\)的Gauss曲率的绝对值\(\vert K (p) \vert\)的意义是，围绕点\(p\)的小区域\(D\)在Gauss映射下的像\(g(D)\)的面积与区域\(D\)的面积之比在区域\(D\)收缩到点\(p\)时的极限。在曲线论中，关于曲率也有类似的解释。

第三基本形式

如果用\(\mathrm{I}_0\)表示单位球面\(\Sigma\)上的第一基本形式，那么它通过Gauss映射\(g: S \rightarrow \Sigma\)拉回到曲面\(S\)上所得到的二次微分形式称为曲面\(S\)的第三基本形式，记为

\[\mathrm{III} = g^* \mathrm{I}_0\]

根据正则参数曲面之间的对应

\[\mathrm{III} = \mathrm{d} \boldsymbol{n} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{n} = e (\mathrm{d} u)^2 + 2f \mathrm{d} u \mathrm{d} v + g (\mathrm{d} v)^2\]

其中

\[\begin{cases} \begin{aligned} e &= \boldsymbol{n}_u \cdot \boldsymbol{n}_u \\ f &= \boldsymbol{n}_u \cdot \boldsymbol{n}_v \\ g &= \boldsymbol{n}_v \cdot \boldsymbol{n}_v \\ \end{aligned} \end{cases}\]

从曲面\(S\)的第三基本形式得不到更多的不变量，因为\(\mathrm{III}\)和\(\mathrm{I}\)、\(\mathrm{II}\)有着密切的关系。我们有如下定理

定理4.17

曲面\(S\)上的三个基本形式满足关系式 \(\mathrm{III} - 2H \mathrm{II} + K \mathrm{I} \equiv 0\) 其中\(H\)、\(K\)分别是曲面\(S\)的平均曲率和Gauss曲率。

证明因为\(\mathrm{III}\)、\(\mathrm{I}\)、\(\mathrm{II}\)、\(H\)、\(K\)都与曲面\(S\)上保持定向的参数变换无关，所以我们只要在曲面\(S\)上的任意一点\(p\)的附近取一个特殊的参数系来验证就可以了。不妨设\((u, v)\)是点\(p\)附近的参数系，使得\(u\)-曲线和\(v\)-曲线的方向是曲面\(S\)在点\(p\)的彼此正交的主方向，于是在点\(p\)有\(F=M=0\)(参看定理4.14)，并且

\[\begin{cases} \begin{aligned} \kappa_1 &= \frac{L}{E} \\ \kappa_2 &= \frac{N}{G} \\ -\boldsymbol{n}_u &= \kappa_1 \boldsymbol{r}_u \\ -\boldsymbol{n}_v &= \kappa_2 \boldsymbol{r}_v \\ \end{aligned} \end{cases}\]

所以

\[\begin{cases} \begin{aligned} e &= \boldsymbol{n}_u \cdot \boldsymbol{n}_u = (\kappa_1)^2 E \\ f &= \boldsymbol{n}_u \cdot \boldsymbol{n}_v = 0 \\ g &= \boldsymbol{n}_v \cdot \boldsymbol{n}_v = (\kappa_2)^2 G \\ \end{aligned} \end{cases}\]

于是在点\(p\)处有

\[\begin{cases} \begin{aligned} \mathrm{I} &= E (\mathrm{d} u)^2 + G (\mathrm{d} v)^2 \\ \mathrm{II} &= \kappa_1 E (\mathrm{d} u)^2 + \kappa_2 G (\mathrm{d} v)^2 \\ \mathrm{III} &= (\kappa_1)^2 E (\mathrm{d} u)^2 + (\kappa_2)^2 G (\mathrm{d} v)^2 \\ \end{aligned} \end{cases}\]

因此

\[\begin{aligned} 2H \mathrm{II} - K \mathrm{I} &= (\kappa_1 + \kappa_2) [\kappa_1 E (\mathrm{d} u)^2 + \kappa_2 G (\mathrm{d} v)^2] - \kappa_1 \kappa_2 [\kappa_1 E (\mathrm{d} u)^2 + \kappa_2 G (\mathrm{d} v)^2] \\ &= (\kappa_1)^2 E (\mathrm{d} u)^2 + (\kappa_2)^2 G (\mathrm{d} v)^2 \\ &= \mathrm{III} \end{aligned}\]

证毕∎

Dupin标形和近似曲面

Dupin标形

设曲面\(S: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)在点\(p\)的两个主曲率是\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)，其对应的两个彼此正交的主方向单位向量是\(\boldsymbol{e}_1\)、\(\boldsymbol{e}_2\)，则Euler公式表明，曲面\(S\)在点\(p\)沿任意一个切方向

\[\boldsymbol{e} = \cos{\theta} \boldsymbol{e}_1 + \sin{\theta} \boldsymbol{e}_2\]

的法曲率是

\[\kappa_n = \kappa_1 \cos^2{\theta} + \kappa_2 \sin^2{\theta}\]

自然，\(\{ p; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2 \}\)给出曲面\(S\)在点\(p\)处的切平面\(\Pi\)上的直角坐标系。假定沿切方向\(\boldsymbol{e}\)的法曲率\(\kappa_n (\theta) \neq 0\)，则在该方向的射线上可以取一点\(q\)，使得线段\(pq\)的长度是

\[\vert pq \vert = \frac{1}{\sqrt{\vert \kappa_n (\theta) \vert}}\]

那么在上述直角坐标系下点\(q\)的坐标是

\[\begin{cases} \begin{aligned} x &= \frac{1}{\sqrt{\vert \kappa_n (\theta) \vert}} \cos{\theta} \\ y &= \frac{1}{\sqrt{\vert \kappa_n (\theta) \vert}} \sin{\theta} \\ \end{aligned} \end{cases}\]

根据Euler公式，点\(q\)的坐标\((x, y)\)所满足的方程为

\[\kappa_1 x^2 + \kappa_2 y^2 = \text{sign} (\kappa_n (\theta))\]

显然这是一条二次曲线：

当\(K = \kappa_1 \kappa_2 \gt 0\)时，\(\kappa_n (\theta)\)与\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)同号，所以二次曲线的方程成为一个椭圆(参见图(a))。

\[\vert \kappa_1 \vert x^2 + \vert \kappa_2 \vert y^2 = 1\]

当\(K = \kappa_1 \kappa_2 \lt 0\)时，\(\kappa_1\)和\(\kappa_2\)异号，所以二次曲线的方程是两对彼此共轭的双曲线(参见图(b))。此时，曲面的渐近方向，即\(\kappa_n (\theta) = 0\)的方向，恰好是这两对共扼双曲线的渐近线的方向(其实这就是「渐近方向」的名称由来)。

\[\vert \kappa_1 \vert x^2 - \vert \kappa_2 \vert y^2 = \pm 1\]

如果\(K = \kappa_1 \kappa_2 = 0\)，但是\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)不全为0，不妨设\(\kappa_2 \neq 0\)，则二次曲线的方程是与渐近方向\(\boldsymbol{e}_1\)平行的一对直线(参见图(c))。

\[\vert \kappa_2 \vert y^2 = 1\]

当\(\kappa_1 = \kappa_2 = 0\)时，对应的曲线不再存在。

我们把曲面\(S\)在点\(p\)的切平面\(\Pi\)在直角坐标系\(\{ p; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2 \}\)下，二次曲线的方程称为曲面\(S\)在点\(p\)的Dupin标形，它可以看作曲面\(S\)在点\(p\)的法曲率\(\kappa_n\)的一种直观描述。根据Gauss曲率\(K\)的符号不同，Dupin标形表现为不同类型的二次曲线。因此，我们把\(K \lt 0\)的点称为椭圆点，把\(K \lt 0\)的点称为双曲点，把\(K = 0\)的点称为抛物点。圆点属于椭圆点，而平点属于抛物点。

近似曲面

现在我们来观察曲面在一点附近的大致形状。设曲面\(S: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)\)在点\(p\)的两个彼此正交的主方向单位向量是\(\boldsymbol{e}_1\)、\(\boldsymbol{e}_2\)，并且\(\boldsymbol{n} = \boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{e}_2\)。在曲面\(S\)上总是可以取点\(p\)附近的参数系\((u, v)\)使得在点\(p\)处有\(\boldsymbol{r}_u = \boldsymbol{e}_1\)、\(\boldsymbol{r}_v = \boldsymbol{e}_2\)，于是在点\(p\)处下式成立：

\[\begin{cases} \begin{aligned} E &= G = 1 \\ F &= M = 0 \\ L &= \kappa_1 \\ N &= \kappa_2 \end{aligned} \end{cases}\]

不妨设点\(p\)对应于参数\(u = 0\)、\(v = 0\)。根据Taylor展开式，我们有

\[\begin{aligned} \boldsymbol{r} (u, v) &= \boldsymbol{r} (0) + \boldsymbol{r}_u (0) u + \boldsymbol{r}_v (0) v \\ &+ \frac{1}{2} \big( \boldsymbol{r}_{uu} (0) u^2 + 2 \boldsymbol{r}_{uv} (0) uv + \boldsymbol{r}_{vv} (0) v^2 \big) \\ &+ \boldsymbol{o} (u^2 + v^2) \end{aligned}\]

将\(\boldsymbol{r}_{uu}(0)\)、\(\boldsymbol{r}_{uv}(0)\)、\(\boldsymbol{r}_{vv}(0)\)分解出切分量和法分量，并且注意到

\[\begin{cases} \begin{aligned} \boldsymbol{r}_{uu}(0) \cdot \boldsymbol{n} &= L = \kappa_1 \\ \boldsymbol{r}_{uv}(0) \cdot \boldsymbol{n} &= 0 \\ \boldsymbol{r}_{vv}(0) \cdot \boldsymbol{n} &= N = \kappa_2 \\ \end{aligned} \end{cases}\]

于是\(\boldsymbol{r}(u, v)\)可以写成

\[\begin{aligned} \boldsymbol{r} (u, v) &= \boldsymbol{r} (0) + \big( u + o(\sqrt{u^2 + v^2}) \big) \boldsymbol{e}_1 + \big( v + o(\sqrt{u^2 + v^2}) \big) \boldsymbol{e}_2 \\ &+ \frac{1}{2} \big( \kappa_1 u^2 + \kappa_2 v^2 + o(u^2 + v^2) \big) \boldsymbol{n} \end{aligned}\]

如果把\(\{ p; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{n} \}\)取成空间\(\mathbb{E}^3\)的直角坐标系，那么曲面\(S\)的参数方程成为

\[\begin{cases} \begin{aligned} x &= u + o(\sqrt{u^2 + v^2}) \\ y &= v + o(\sqrt{u^2 + v^2}) \\ z &= \frac{1}{2} (\kappa_1 u^2 + \kappa_2 v^2) + o(u^2 + v^2) \end{aligned} \end{cases}\]

或者

\[z = \frac{1}{2} (\kappa_1 x^2 + \kappa_2 y^2) + o(x^2 + y^2)\]

把上式称为曲面\(S\)的参数方程在点\(p\)的标准展开。当\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)不全为0时，上式右端在\(u^2 + v^2 \to 0\)时作为无穷小量的主要部分是

\[z = \frac{1}{2} (\kappa_1 x^2 + \kappa_2 y^2)\]

这是一个二次曲面，成为曲面\(S\)在点\(p\)的近似曲面，记为\(S^*\)。容易验证，曲面\(S^*\)和\(S\)在点\(p\)相切，共同以\(\boldsymbol{e}_1\)、\(\boldsymbol{e}_2\)为在点\(p\)的主方向，以\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)为对应的主曲率，因此曲面\(S^*\)和\(S\)在点\(p\)沿每一个切方向有相同的法曲率。由此可见，就曲面\(S\)在一点\(p\)的弯曲情况而言，近似曲面\(S^*\)可以看作曲面\(S\)的模型：

若点\(p\)是椭圆点，则近似曲面是一个椭圆抛物面(参看图(a))，曲面\(S\)在点\(p\)的附近落在点\(p\)的切平面一侧，即曲面\(S\)在点\(p\)是凸的。
若点\(p\)是双曲点，\(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)异号，则近似曲面是一个双曲抛物面(参看图(b))，曲面\(S\)在点\(p\)的附近必定落在点\(p\)的切平面的两侧，而且它与切平面相交成两条曲线，这两两条曲线在点\(p\)的切方向是曲面在该点的渐近方向。
若点\(p\)是非平点的抛物点，则近似曲面是一个抛物柱面(参看图(c))。

观察Dupin标形方程和近似曲面方程不难法线，如果用平面\(z=\pm \frac{1}{2}\)去截近似曲面\(S^*\)，则的曲线

\[\begin{cases} \begin{aligned} &\kappa_1 x^2 + \kappa_2 y^2 = \pm 1 \\ &z = \pm \frac{1}{2} \end{aligned} \end{cases}\]

将它投影到曲面\(S\)在点\(p\)的切平面\(\Pi\)上，所得的正是曲面\(S\)在点\(p\)的Dupin标形。

	Gauss曲率\(K\)	Dupin标形	近似曲面	渐近方向
椭圆点	\(K \gt 0\)	椭圆	椭圆抛物面	-
双曲点	\(K \lt 0\)	两对共轭双曲线	双曲抛物面	两个
抛物点(非平点)	\(K = 0\)	一对平行直线	抛物柱面	一个
抛物点(平点)	\(K = 0\)	-	-	任意方向

很明显，曲面上的椭圆点和双曲点分别构成曲面的开子集，它们的边界是由抛物点组成的。

如果曲面上的平点构成一个开集，则它必定是平面的一部分。在非平点的附近我们都能够用近似曲面去模拟原曲面在该点附近的大致形状。然而当平点是孤立点，或者平点沿曲线分布时，曲面的形状是比较复杂的，下面举两个例子：

猴鞍面：\(z = x^3 - 3xy^2\)，原点是孤立的平点(参看图(a))。
\(z=x^4 y^4\)，曲面的平点落在\(x\)轴和\(y\)轴上(参看图(b))。

一般地，若将曲面的方程在平点作标准展开时，即把该点作为坐标原点、并且把曲面在该点的两个彼此正交的主方向取作\(x\)轴和\(y\)轴时，\(z\)必定是\(x\)、\(y\)的3次以上的函数，但是在代数学中尚未给出这种函数的标准形式和分类，因此难以刻画和归纳曲面在这种点的附近的大致形状。

某些特殊曲面

本节我们要讨论几种特殊曲面的例子，这些特殊曲面包括Gauss曲率为常数的曲面和平均曲率为零的曲面。

Gauss曲率为常数的曲面

在后面的课程我们会证明Gauss曲率为常数曲面的第一基本形式有完全确定的表达式，于是在任意两个有相同的常数Gauss曲率的曲面之间在局部上是能够建立保长对应的，因此了解常数Gauss曲率的曲面的例子是重要的。

首先我们在旋转曲面中寻求有常数Gauss曲率的曲面的例子。假定旋转曲面\(S\)的方程是

\[\boldsymbol{r} = (u \cos{v}, u \sin{v}, f(u))\]

其中\(u \gt 0\)，\(0 \leq v \lt 2 \pi\)，并且假定它有常数Gauss曲率\(K\)。经直接计算得到曲面\(S\)的第一基本形式和第二基本形式分别是

\[\begin{cases} \begin{aligned} \mathrm{I} &= (1 + f'^2 (u)) (\mathrm{d} u)^2 + u^2 (\mathrm{d} v)^2 \\ \mathrm{II} &= \frac{f''(u)}{\sqrt{1 + f'^2 (u)}} (\mathrm{d} u)^2 + \frac{u f'(u)}{\sqrt{1 + f'^2 (u)}} (\mathrm{d} v)^2 \\ \end{aligned} \end{cases}\]

因此曲面\(S\)的Gauss曲率是

\[K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} = \frac{f'(u)f''(u)}{u (1 + f'^2(u))^2}\]

所以，待定的函数\(f(u)\)应该满足微分方程

\[f'(u) f''(u) = K u (1 + f'^2 (u))^2\]

将上式积分一次得到 \(\frac{1}{1+f'^2(u)} = c - K u^2\)

其中\(c\)为任意常数。再次积分得到

\[f(u) = \pm \int \sqrt{\frac{1 - c + K u^2}{c - K u^2}} \mathrm{d} u\]

零Gauss曲率曲面

如果\(K = 0\)，则

\[f(u) = au + b\]

其中\(a = \sqrt{\frac{1-c}{c}}\)，\(0 \lt c \lt 1\)。此时，旋转面\(S\)要么为平面(\(a = 0\))，要么为圆锥面\(a \neq 0\)。

另一种Gauss曲率\(K = 0\)的旋转面是圆柱面，其方程是

\[\boldsymbol{r} = (a \cos{v}, a \sin{v}, u)\]

不在\(\boldsymbol{r} = (u \cos{v}, u \sin{v}, f(u))\)所描述的曲面之列。

正Gauss曲率曲面

如果\(K \gt 0\)，不妨设\(K = \frac{1}{a^2}\)，则

\[f(u) = \pm \int \sqrt{\frac{a^2 (1-c) + u^2}{ca^2 - u^2}} \mathrm{d} u\]

由此可见，\(c\)必须取正数。设\(c = b^2\)，则上式成为

\[f(u) = \pm \int \sqrt{\frac{a^2 (1-b^2) + u^2}{a^2 b^2 - u^2}} \mathrm{d} u\]

取\(b^2 = 1\)，则得到

\[f(u) = \pm \int \frac{u}{\sqrt{a^2 - u^2}}\mathrm{d} u = \mp \sqrt{a^2 - u^2} + c_0\]

它的图像是半径为\(a\)的圆周，所以将它绕\(z\)轴旋转得到的是半径为\(a\)的球面。

若取\(b \gt 1\)或\(0 \lt b^2 \lt 1\)，积分后得到非球面的正常曲率\(K = \frac{1}{a^2}\)的旋转面，这样的曲面可以看成是将球面去掉南、北极之后再往里压，或者向外抻的结果。课程后面会介绍所有这样的曲面在局部上能够建立保长对应。然而在大范围微分几何学中已经证明， Gauss 曲率为正的凸闭曲面有刚硬性，即它们不可能与其它曲面有除了刚体运动以外的保长对应，因此球面也是刚硬的。但是在上面所说的变形中，已经把球面的南、北极去掉了，因而它不再是闭曲面了，不具有刚硬性。

负Gauss曲率曲面

如果\(K \lt 0\)，不妨设\(K = -\frac{1}{a^2}\)，则

\[f(u) = \pm \int \sqrt{\frac{a^2 (1-c) - u^2}{ca^2 + u^2}} \mathrm{d} u\]

由此可见，必须有\(c \lt 1\)。设\(c = 1 - b^2\)，则上式成为

\[f(u) = \pm \int \sqrt{\frac{a^2 b^2 - u^2}{a^2 (1 - b^2) + u^2}} \mathrm{d} u\]

取\(b^2 = 1\)，则得到

\[f(u) = \pm \int \frac{\sqrt{a^2 - u^2}}{u} \mathrm{d} u\]

作变量替换\(u = a \cos{\varphi}\)，\(0 \leq \varphi \lt \frac{\pi}{2}\)，则得

\[f = \mp \int a \cdot \frac{\sin^2{\varphi}}{\cos^2{\varphi}} \mathrm{d} \varphi = \pm \big( \log{(\sec{\varphi} + \tan{\varphi})} - \sin{\varphi} \big)\]

在\(Oyz\)平面上，由函数\(f(\varphi)\)给出的曲线是

\[\begin{cases} \begin{aligned} y &= a \cos{\varphi} \\ z &= \pm a \big( \log{(\sec{\varphi} + \tan{\varphi})} - \sin{\varphi} \big) \end{aligned} \end{cases}\]

这是由两条曳物线构成的曲线，在\((y, z) = (a, 0)\)处有一个尖点，\(y\)轴是它在尖点的切线，并且\(z\)轴是它的渐近线。把上半条曳物线绕\(z\)轴旋转一周所得到的曲面称为伪球面，它的方程是

\[\begin{cases} \begin{aligned} x &= a \cos{\varphi} \cos{\theta} \\ y &= a \cos{\varphi} \sin{\theta} \\ z &= a \big( \log{(\sec{\varphi} + \tan{\varphi})} - \sin{\varphi} \big) \end{aligned} \end{cases}\]

其中\(0 \leq \varphi \lt \frac{\pi}{2}\)，\(0 \leq \theta \lt 2 \pi\)。伪球面是Gauss 曲率为负常数的曲面的典型例子。

当\(0 \lt b^2 \lt 1\)或\(b^2 \gt 1\)时，积分\(f(u) = \pm \int \sqrt{\frac{a^2 b^2 - u^2}{a^2 (1 - b^2) + u^2}} \mathrm{d} u\)便给出Gauss曲率为负常数的旋转曲面的其它例子。

极小曲面

平均曲率为零的曲面称为极小曲面.极小曲面是微分几何研究的一个重要课题。一百多年来，关于以已知曲线为边界的极小曲面的存在性(即Plateau问题)，以及大范围极小曲面的性质和极小曲面在高维的推广，人们做了大量的研究工作，并且取得了十分丰富的成果。利用变分法可以证明，如果在所有以给定的曲线\(C\)为边界的曲面中曲面\(S\)的面积达到最小值，则曲面\(S\)必定是极小曲面。在这里，我们要给出极小曲面的一些例子。

下面我们来求旋转极小曲面。设曲面\(S\)的方程为

\[\boldsymbol{r} = (u \cos{v}, u \sin{v}, f(u))\]

利用它的第一基本形式和第二基本形式可以得到曲面\(S\)的平均曲率

\[\begin{aligned} H &= \frac{1}{2} \bigg( \frac{f''(u)}{(\sqrt{1 + f'^2 (u)})^3} + \frac{f'(u)}{u \sqrt{1 + f'^2(u)}} \bigg) \\ &= \frac{u f''(u) + f'(u) (1 + f'^2 (u))}{2u (\sqrt{1 + f'^2 (u)})^3} \end{aligned}\]

由此可见，如果\(S\)是极小曲面，则函数\(f(u)\)必须满足微分方程

\[u f''(u) + f'(u) (1 + f'^2 (u)) = 0\]

上式可以改写为

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} u} \bigg( \frac{u f'(u)}{\sqrt{1 + f'^2 (u)}} \bigg) = 0\]

因此得到它的第一积分

\[\frac{f'^2(u)}{1 + f'^2 (u)} = \frac{c}{u^2}\]

这里的常数\(c\)必须是非负数。如果\(c = 0\)，则

\[f' (u) = 0 \Leftrightarrow f(u) = \text{const}\]

相应的曲面是平面。假定\(c = a^2\)，\(a \gt 0\)，则

\[f'(u) = \pm \frac{a}{\sqrt{u^2 - a^2}}\] \[f(u) = \pm \int \frac{a \mathrm{d} u}{\sqrt{u^2 - a^2}} = \pm a \log{(u + \sqrt{u^2 - a^2})}\]

相应的极小曲面的方程是

\[\begin{cases} \begin{aligned} x &= u \cos{v} \\ y &= u \sin{v} \\ z &= \pm a \log{(u + \sqrt{u^2 - a^2})} \end{aligned} \end{cases}\]

命

\[\begin{cases} \begin{aligned} u &= a \cosh{\frac{r}{a}} \\ v &= \theta \end{aligned} \end{cases}\]

则曲面的方程成为

\[\begin{cases} \begin{aligned} x &= a \cosh{\frac{r}{a}} \cos{\theta} \\ y &= a \cosh{\frac{r}{a}} \sin{\theta} \\ z &= r \end{aligned} \end{cases}\]

它的图像是一条悬链线绕轴旋转一周所得的曲面，称为悬链面，是旋转曲面中的极小曲面。

根据定义，\(2H = \kappa_1 + \kappa_2\)，所以在极小曲面上两个主曲率的绝对值相等、符号相反，因此\(K = \kappa_1 \kappa_2 = -(\kappa_1)^2 \leq 0\)。这就是说在极小曲面上没有椭圆点，只有平点或双曲点。另外，根据Euler公式，极小曲面在双曲点的渐近方向是彼此正交的。事实上，若设渐近方向与\(\kappa_1\)所对应的主方向的夹角是\(\theta\)，则\(\theta\)满足方程

\[0 = \kappa_n (\theta) = \kappa_1 (\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}) = \kappa_1 \cos{2 \theta}\]

于是\(2 \theta = \frac{\pi}{2}\)，这正好是两个渐近方向之间的夹角。

平均曲率为非零常数的曲面也是微分几何研究的重要课题。球面和圆柱面就是这样的一类曲面。Hopf曾经提出一个问题：寻求平均曲率为非零常数的非球面闭曲面的例子。这个问题吸引了许多几何学家的关注。经过50多年的努力，这个问题最后在20世纪80年代被解决了。在1986年，Wente成功地构造出\(\mathbb{E}^3\)中平均曲率为非零常数的环面的例子，但是它和它自己会相交。在解决这个问题的过程中发展了很多数学方法，推动了数学的发展。