微分几何笔记01-预备知识

这个系列是北京大学陈维桓教授《微分几何(第二版)》的学习笔记，主要涉及古典微分几何中曲线曲面理论的相关知识。系统学习微分几何对于理解计算机图形学中的各种几何处理算法是十分有益的。本节主要介绍古典微分几何涉及的基础知识以及一些常用结论。

三维欧式空间中的标架

向量运算

古典微分几何主要研究三维欧式空间 $E^{3}$ ，其中的每一个元素称为点。空间中任意两个点 $A, B \in E^{3}$ 可以构造一条有向线段，记以 $A$ 为起点 $B$ 为终点的有向线段为 $\vec{A B}$ 。设 $\vec{A B}$ 和 $\vec{C D}$ 为两条有向线段，如果 $A B C D$ 构成一个平行四边形则称这两条线段是相等的，记为

\vec{A B} = \vec{C D}

而所有相等的有向线段构成的集合称为一个向量，通常使用斜黑体字母来表示如 $a$ 。

加法

向量相加只需要将它们的首尾相接：记 $\vec{A B}$ 和 $\vec{B C}$ 两个向量分别为 $a$ 和 $b$ ，则连接 $A$ 和 $C$ 的有向线段 $\vec{A C}$ 就代表向量 $a + b$ 。除此之外，我们把起点和终点相同的有向线段集合称为零向量，记作 $0$ 。显然任何向量与零向量之和等于其自身：

a + 0 = a

若向量 $a$ 表示有向线段 $\vec{A B}$ 对应的向量，则有向线段 $\vec{B A}$ 代表的向量可以记作 $- a$ ，因此有

a + (- a) = 0

我们把向量 $- a$ 称作 $a$ 的反向量。容易验证向量加法满足交换律和结合律：

a + b = b + a

a + (b + c) = (a + b) + c

在 $E^{3}$ 中我们规定线段 $\vec{A B}$ 的长度为点 $A$ 到 $B$ 的距离，记为 $| A B |$ 。对于空间中的任意三点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，它们之间的距离需要满足三角不等式：

| A B | + | B C | \geq | A C |

当且仅当 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线时取等号。

数乘

向量 $a$ 的长度 $| a |$ 表示它对应有向线段的长度，在此基础上我们可以定义数乘运算。对于任意实数 $c$ ，它与向量 $a$ 的乘积 $c \cdot a$ 定义为与 $a$ 平行的向量。当 $c > 0$ 时 $c \cdot a$ 与 $a$ 同向且其长度 $| c \cdot a |$ 为 $| a |$ 的 $c$ 倍；类似地，当 $c < 0$ 时 $c \cdot a$ 与 $a$ 反向且长度为 $| a |$ 的 $| c |$ 倍；而当 $c = 0$ 时 $c \cdot a = 0$ 。容易验证向量数乘运算满足如下性质：

λ (a + b) = λ a + λ b

(λ + μ) a = λ a + μ a

(λ μ) a = λ (μ a)

其中 $λ$ 和 $μ$ 为任意实数。

内积

向量和向量之间的内积(点乘)定义为实数

a \cdot b = | a | \cdot | b | \cdot \cos ∠ (a, b)

容易验证内积运算满足如下性质：

a \cdot b = b \cdot a

c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b

(λ a) \cdot b = λ (a \cdot b)

实际上向量的长度也是由内积来定义的：

| a |^{2} = a \cdot a \geq 0

当且仅当向量 $a$ 为零向量 $0$ 时取等号。另外向量 $a$ 和 $b$ 垂直的充要条件为它们的内积为0：

a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a ⊥ b

叉乘

当向量 $a$ 和 $b$ 平行时规定它们的叉乘(向量积)为零向量；而当它们不平行时，规定叉乘 $a \times b$ 为与向量 $a$ 和 $b$ 都垂直的一个向量，其长度为 $a$ 和 $b$ 所张成的平行四边形面积：

| a \times b | = | a | \cdot | b | \cdot \sin ∠ (a, b)

且它和 $a$ 与 $b$ 构成右手系。容易验证叉乘运算满足如下性质：

a \times b = - b \times a

c \times (a + b) = c \times a + c \times b

(λ a) \times b = λ (a \times b)

根据定义，向量 $a$ 和 $b$ 相互平行的充要条件为它们的叉乘为零向量：

a \times b = 0 \Leftrightarrow a ∥ b

正交标架

取 $E^{3}$ 空间中不共面的四个点，把其中一点记为 $O$ ，其它三点分别记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，于是得到一个由一点 $O$ 和3个不共面向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 构成的图形 ${O; \vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}}$ 。这样的一个图形称为空间中的一个标架，点 $O$ 称为该标架的原点。在给定标架 ${O; \vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}}$ 后，由原点指向空间中任意一点 $p$ 的向量可以根据平行四边形法则唯一地表示为三个有序实数 $(x, y, z)$ ：

\vec{O p} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}

数组 $(x, y, z)$ 称为点 $p$ 关于标架 ${O; \vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}}$ 的坐标。

设 ${O; i, j, k}$ 是 $E^{3}$ 中的一个标架，且 $i$ ， $j$ ， $k$ 为彼此垂直并构成右手系的三个向量，则有

i \cdot i = j \cdot j = k \cdot k = 1

i \cdot j = i \cdot k = j \cdot k = 0

i \times j = k, j \times k = i, k \times i = j

这样的标架称为右手正交标架，简称正交标架，而由正交标架给出的坐标系则称为笛卡尔直角坐标系。在笛卡尔直角坐标系下，设向量 $a$ 和 $b$ 的分量分别为 $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则它们的内积和叉积可以表示为分量运算：

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

a \times b = | \begin{matrix} i & j & k \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{matrix} |

设点 $A$ 和 $B$ 的坐标分别为 $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则线段 $A B$ 的长度可以表示为：

| A B | = \sqrt{\vec{A B} \cdot \vec{A B}} = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}

对于空间中已知的固定标架 ${O; i, j, k}$ ，空间中任意正交标架 ${p; e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ 可以利用下式来进行确定：

{\begin{cases} \begin{aligned} \vec{O p} & = a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k \\ e_{1} & = a_{11} i + a_{12} j + a_{13} k \\ e_{2} & = a_{21} i + a_{22} j + a_{23} k \\ e_{3} & = a_{31} i + a_{32} j + a_{33} k \end{aligned} \end{cases}

其中系数 $a_{n}$ 为向量 $\vec{O p}$ 在固定标架下的第 $n$ 个坐标，而 $a_{m n}$ 为新标架下第 $m$ 个基向量在固定标架第 $n$ 个基向量下的投影。利用基向量 $e_{i}$ 的正交性可以得到：

e_{i} \cdot e_{j} = \sum_{k = 1}^{3} a_{i k} a_{j k} = δ_{i j} = {\begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases}

再根据 ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ 构成右手系，可以得到

e_{1} \times e_{2} = e_{3}

这样我们可以计算 ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ 的混合积为

\begin{aligned} (e_{1}, e_{2}, e_{3}) & = (e_{1} \times e_{2}) \cdot e_{3} = e_{3} \cdot e_{3} \\ = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | = 1 \end{aligned}

令

\begin{aligned} a & = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \\ A & = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) \end{aligned}

则矩阵 $A$ 为行列式等于1的正交矩阵，即 $A \in SO(3)$ 。前面的推导说明 $E^{3}$ 中的任意标架 ${p; e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ 都对应一个向量和正交阵 $(a, A)$ ，因此 $E^{3}$ 中的全体标架集合等同于 $E^{3} \times SO(3)$ ，这是一个具有6个自由度的空间。

坐标变换

对于空间中已知的两个正交标架 ${O; i, j, k}$ 和 ${p; e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ ，记点 $q$ 在两个标架下的坐标分别为 $(x, y, z)$ 和 $(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z})$ ，则有

\vec{O q} = x i + y j + z k = (x, y, z) \cdot (\begin{matrix} i \\ j \\ k \end{matrix})

另一方面，

\begin{aligned} \vec{O q} & = \vec{O p} + \vec{p q} \\ = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \cdot (\begin{array}{c} i \\ j \\ k \end{array}) + (\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) \cdot (\begin{array}{c} e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{array}) \\ = (a + (\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) \cdot A) (\begin{array}{c} i \\ j \\ k \end{array}) \end{aligned}

这说明两个正交标架下的坐标变换满足关系式

(x, y, z) = a + (\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) \cdot A

其展开形式为

{\begin{cases} \begin{aligned} x & = a_{1} + a_{11} \tilde{x} + a_{21} \tilde{y} + a_{31} \tilde{z} \\ y & = a_{2} + a_{12} \tilde{x} + a_{22} \tilde{y} + a_{32} \tilde{z} \\ z & = a_{3} + a_{13} \tilde{x} + a_{23} \tilde{y} + a_{33} \tilde{z} \end{aligned} \end{cases}

刚体运动

正交标架的另一个重要应用是用来描述 $E^{3}$ 中的刚体运动。假设刚体上的正交标架为 ${p; e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ ，在初始时刻它与固定标架 ${O; i, j, k}$ 重合。刚体经过运动 $σ$ 后到达了新的位置，此时刚体上的点 $q$ 在刚体运动 $σ$ 的作用下变成了像点

\tilde{q} = σ (q)

由于 $q$ 点的相对位置在变换前后是一致的，我们有

\begin{aligned} \vec{O q} & = (x, y, z) \cdot (\begin{array}{c} i \\ j \\ k \end{array}) \\ \vec{p \tilde{q}} & = (x, y, z) \cdot (\begin{array}{c} e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{array}) \end{aligned}

因此

\begin{aligned} \vec{O \tilde{q}} & = \vec{O p} + \vec{p \tilde{q}} \\ = (a + (x, y, z) \cdot A) (\begin{array}{c} i \\ j \\ k \end{array}) \end{aligned}

这表示 $\tilde{q} = σ (q)$ 关于 ${O; i, j, k}$ 的坐标为

(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) = a + (x, y, z) \cdot A

其展开形式为

{\begin{cases} \begin{aligned} \tilde{x} & = a_{1} + a_{11} x + a_{21} y + a_{31} z \\ \tilde{y} & = a_{2} + a_{12} x + a_{22} y + a_{32} z \\ \tilde{z} & = a_{3} + a_{13} x + a_{23} y + a_{33} z \end{aligned} \end{cases}

上式说明刚体运动可以看作是一种坐标变换。总结一下可以得到如下定理：

定理1.1

$E^{3}$ 中的刚体运动把一个正交标架映射为另一个正交标架；反过来， $E^{3}$ 中的任意两个正交标架，必有一个 $E^{3}$ 中的刚体运动把其中一个正交标架映射为另一个正交标架。

实际上刚体运动可以看作是 $E^{3}$ 到其自身的一种变换，它的特点是可以保持任意两点之间的距离保持不变，这样的变换称为等距变换。可以证明刚体运动是保持右手系不变的等距变换，而等距变换或者是一个刚体运动，或者是刚体运动关于某个平面反射的合成。

向量函数

由三维欧式空间中全体向量组成的空间称为三维欧式向量空间。当给定了正交标架 ${O; i, j, k}$ 后，该空间等价于由有序的三个实数构成的空间 $R^{3}$ 。在此基础上我们定义向量函数为其定义域到 $R^{3}$ 的映射，即三个有序实函数。

设有定义在区间 $[a, b]$ 上的向量函数

r (t) = (x (t), y (t), z (t)), t \in [a, b]

如果其三个分量 $x (t)$ ， $y (t)$ ， $z (t)$ 都是关于 $t$ 的连续函数，则称向量函数 $r (t)$ 是连续的；如果 $x (t)$ ， $y (t)$ ， $z (t)$ 都是关于 $t$ 的连续可微函数，则称向量函数 $r (t)$ 是连续可微的。向量函数 $r (t)$ 的导数和积分定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即

\begin{aligned} \frac{d r}{d t} |_{t = t_{0}} & = lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t_{0} + Δ t) - r (t_{0})}{Δ t} \\ = lim_{Δ t \to 0} (\frac{x (t_{0} + Δ t) - x (t_{0})}{Δ t}, \frac{y (t_{0} + Δ t) - y (t_{0})}{Δ t}, \frac{z (t_{0} + Δ t) - z (t_{0})}{Δ t}) \\ = (x^{'} (t_{0}), y^{'} (t_{0}), z^{'} (t_{0})) \\ \int_{a}^{b} r (t) d t & = (\int_{a}^{b} x (t) d t, \int_{a}^{b} y (t) d t, \int_{a}^{b} z (t) d t) \end{aligned}

因此向量函数的求导和积分归结于它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结于它它的分量函数的可微性和可积性。

定理1.2

假定 $a (t)$ ， $b (t)$ ， $c (t)$ 是三个可微的向量函数，则它们的内积、向量积和混合积的导数有下面的公式：
(1) $(a (t) \cdot b (t))^{'} = a^{'} (t) \cdot b (t) + a (t) \cdot b^{'} (t)$
(2) $(a (t) \times b (t))^{'} = a^{'} (t) \times b (t) + a (t) \times b^{'} (t)$
(3) $(a (t), b (t), c (t))^{'} = (a^{'} (t), b (t), c (t)) + (a (t), b^{'} (t), c (t)) + (a (t), b (t), c^{'} (t))$

除此之外，下面定理给出了具有特殊性质的向量函数所满足的条件，以后会经常用到：

定理1.3

设 $a (t)$ 是一个处处非零的连续可微向量函数，则
(1) 向量函数 $a (t)$ 的长度是常数当且仅当 $a^{'} (t) \cdot a (t) \equiv 0$
(2) 向量函数 $a (t)$ 的方向不变当且仅当 $a^{'} (t) \times a (t) \equiv 0$
(3) 如果向量函数 $a (t)$ 与某个固定方向垂直，那么 $(a (t), a^{'} (t), a^{″} (t)) \equiv 0$
反过来，如果上式成立且处处有 $a^{'} (t) \times a (t) \neq 0$ ，那么向量函数 $a (t)$ 必与某个固定方向垂直

证明

(1)

\begin{aligned} \frac{d}{d t} | a (t) |^{2} & = \frac{d (a (t) \cdot a (t))}{d t} \\ = a^{'} (t) \cdot a (t) + a (t) \cdot a^{'} (t) \\ = 2 a^{'} (t) \cdot a (t) \end{aligned}

因此 $| a (t) |^{2}$ 为常数当且仅当 $a^{'} (t) \cdot a (t) \equiv 0$ 。

(2) 如果向量函数 $a (t)$ 的方向不变，则存在一个单位向量 $b$ 使得向量函数 $a (t)$ 能够写成

a (t) = f (t) \cdot b

其中 $f (t) = a (t) \cdot b$ 是处处非零的连续可微函数，因此

\begin{aligned} a^{'} (t) & = f^{'} (t) \cdot b \\ a^{'} (t) \times a (t) & = (f^{'} (t) \cdot b) \times (f (t) \cdot b) \\ \equiv 0 \end{aligned}

反过来，如果 $a^{'} (t) \times a (t) \equiv 0$ ，令 $b (t) = \frac{a (t)}{| a (t) |}$ ， $| b (t) | = 1$ 。我们需要证明 $b (t)$ 是常向量函数。

由于 $b (t)$ 的长度为1，根据(1)可知

b^{'} (t) \cdot b (t) \equiv 0

即

b^{'} (t) \cdot a (t) \equiv 0

由 $b (t)$ 的定义可知

a (t) = f (t) \cdot b (t)

其中 $f (t) = | a (t) |$ 处处不为零，因此

a^{'} (t) = f^{'} (t) \cdot b (t) + f (t) \cdot b^{'} (t)

a^{'} (t) \times a (t) = f (t) b^{'} (t) \times a (t) = 0

因此有 $b^{'} (t) \times a (t) = 0$ ，即 $b^{'} (t)$ 与 $a (t)$ 共线

b^{'} (t) = λ (t) \cdot a (t)

由于 $b^{'} (t) \cdot a (t) \equiv 0$ ，有

\begin{aligned} b^{'} (t) \cdot a (t) & = λ (t) a (t) \cdot a (t) \\ = λ (t) f^{2} (t) \\ \equiv 0 \end{aligned}

因此 $λ (t) \equiv 0$ ，即

b^{'} (t) \equiv 0

故 $b (t)$ 是常向量，向量函数 $a (t)$ 的方向不变。

(3) 设有单位常向量 $b$ 使得 $a (t) \cdot b \equiv 0$ ，对该式进行求导可以得到

a^{'} (t) \cdot b \equiv 0

a^{″} (t) \cdot b \equiv 0

这说明 $a (t)$ ， $a^{'} (t)$ ， $a^{″} (t)$ 都垂直于 $b$ ，即都位于 $b$ 的正交补空间内。因此向量 $a (t)$ ， $a^{'} (t)$ ， $a^{″} (t)$ 共面，其混合积满足

(a (t), a^{'} (t), a^{″} (t)) \equiv 0

反过来，假定上面的式子成立，则有

(a (t) \times a^{'} (t)) \cdot a^{″} (t) \equiv 0

由于 $a^{'} (t) \times a (t) \neq 0$ ，我们令

b (t) = a^{'} (t) \times a (t)

则

b^{'} (t) = a^{″} (t) \times a (t)

进而

\begin{aligned} b (t) \times b^{'} (t) & = b (t) \times (a^{″} (t) \times a (t)) \\ = (b (t) \cdot a (t)) a^{″} (t) - (b (t) \cdot a^{″} (t)) a (t) \\ = (a (t), a^{'} (t), a^{″} (t)) a (t) \equiv 0 \end{aligned}

注意这里使用了向量三重积公式

a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

根据(2)， $b (t)$ 有固定的方向。令 $b_{0} (t) = \frac{b (t)}{| b (t) |}$ ，则 $b_{0} (t)$ 即为单位常向量且满足

a (t) \cdot b_{0} (t) = \frac{a (t) \cdot b (t)}{| b (t) |} \equiv 0

即 $a (t)$ 与固定方向 $b_{0} (t)$ 垂直。证毕∎