Shape Analysis课程笔记15-Vector Fields Introduction

这个系列是MIT 6.838: Shape Analysis的同步课程笔记。本课程会介绍几何方法在图形学、机器学习、计算机视觉、医疗图像以及建筑设计等相关领域的原理和应用。本节主要介绍曲面上的向量场。

Why Vector Fields?

在本课程中向量场(vector fields)主要是指曲面上的切向量场(tangent vector fields)。在图形学中像是模型的毛发、纹理甚至是网格的生成都可以基于向量场来实现。

除此之外，向量场在物理仿真以及PDE等领域也有大量的应用。

在工程领域，向量场的一大应用是表示流体的流动。

在艺术设计领域，我们可以使用向量场来表现艺术家的笔触从而实现不同的绘画风格。

在机器学习领域，continuous normalizing flow这样的方法就是通过构造向量场来近似目标分布。

在日常生活中，设计各种点心的表面图案实际上也可以理解为构造向量场。

总之向量场是一个比较复杂的数学问题，每年都会涌现出一批新的算法和技术。本节课我们主要关注向量场的各种理论性质，而在后面的课程中则会介绍向量场在离散曲面上相关的方法。

Tangent Space

在前面的课程中我们介绍过切空间的概念。这里我们主要使用它的第二种定义，即切空间是\(p\)点附近局部参数化映射\(g\)的微分\(dg\)的像。

在此基础上我们定义切丛(tangent bundle)为流形上的点\(p\)与该点处所有切向量构成的集合。这样向量场可以定义为流形到切丛的映射\(u: \mathcal{M} \rightarrow T\mathcal{M}\)，即我们为流形上每一点\(p\)配备一个切向量\(u(p) = (p, v)\)。

Gradient Vector Fields

流形上的标量函数会为每一点赋予一个标量值。

而标量函数的微分则给出了切向量在映射作用下的变化。

把它们结合起来我们就可以定义流形上的梯度场，它是标量函数\(f\)的微分并且给出了\(f\)在切向量\(\mathbf{v}\)方向上的导数。

Differentiate a Vector Field

接下来我们考虑如何对向量场进行微分。其中最基本的问题在于如何去比较流形上的切空间，当我们脱离了欧式空间后就无法直接对向量进行加减了。

除此之外流形上的微分也有不同的形式，在本门课中我们会重点介绍Lie导数(Lie derivative)和协变导数(covariant derivative)这两种形式。

Differentiate a Vector Field on a Manifold

我们从欧式空间中的向量场开始。假设待求导数的向量场为\(Y\)，则\(p\)点处\(Y\)在\(X\)方向的导数为：

\[D_X Y \vert_p = \lim_{t \to 0} \frac{Y(p + tX) - Y(p)}{t}\]

上面的定义在流形上会产生一定的问题。对于\(Y(p + tX)\)项我们需要保证它位于切空间中，因此不能简单地使用向量加法。除此之外，\(Y(p + tX)\)和\(Y(p)\)之间的减号是建立在欧式空间中的，而在流形上\(Y(p + tX)\)和\(Y(p)\)位于两个不同的切空间，我们不能直接进行相减。

为了处理加法的问题，我们可以在流形上构造一条曲线\(\gamma_p(t): (-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow \mathcal{M}\)且满足\(\gamma_p(0) = p, \gamma_p'(0) = X(p)\)。这样\(Y(p + tX)\)可以重新表示为：

\[\lim_{t \rightarrow 0} \frac{Y(\gamma_p(t)) - Y(p)}{t}\]

而对于\(Y(p + tX)\)和\(Y(p)\)位于不同切空间的问题，我们需要定义一个函数将\(Y(p + tX)\)映射到\(Y(p)\)所在的切空间中：

\[\Phi_t^p: T_{\gamma_p(t)} \mathcal{M} \rightarrow T_p \mathcal{M}\]

此时向量场的微分可以表示为：

\[\lim_{t \to 0} \frac{\Phi_t^p(Y(\gamma_p(t))) - Y(p)}{t}\]

Lie Derivative

Lie导数使用向量场\(X\)的积分曲线(integral curve)来处理向量场\(Y\)的微分。所谓积分曲线是指从\(p\)点出发在向量场中每时每刻沿向量\(X(p)\)进行流动得到的曲线，即曲线满足ODE：

\[\frac{d}{dt} \phi_t^X(p) = X(\phi_t^X(p)), \ \phi_0^X(p) = p\]

接下来取\(\gamma_p(t) = \phi_t^X(p)\)；然后沿着积分曲线把\(Y(p + tX)\)拽回到\(Y(p)\)上，即令\(\Phi_t^p = d \phi_{-t}^X \vert_{\gamma_p(t)}\)。如此计算的微分即为向量场的Lie导数，记作\(\mathcal{L}_X^Y\)。

Covariant Derivative

而在协变导数中我们不再要求\(\gamma_p(t)\)来自于向量场\(X\)，任意曲线只要能满足\(\gamma_p(t)\)的条件都是合理的选择。然后沿着曲线\(\gamma_p(t)\)基于平行运输(parallel transport)来构造\(\Phi_t^p\)。协变导数记作\(\nabla_X Y\)。