Shape Analysis课程笔记15-Vector Fields Introduction

这个系列是MIT 6.838: Shape Analysis的同步课程笔记。本课程会介绍几何方法在图形学、机器学习、计算机视觉、医疗图像以及建筑设计等相关领域的原理和应用。本节主要介绍曲面上的向量场。

Why Vector Fields?

在本课程中向量场(vector fields)主要是指曲面上的切向量场(tangent vector fields)。在图形学中像是模型的毛发、纹理甚至是网格的生成都可以基于向量场来实现。

除此之外，向量场在物理仿真以及PDE等领域也有大量的应用。

在工程领域，向量场的一大应用是表示流体的流动。

在艺术设计领域，我们可以使用向量场来表现艺术家的笔触从而实现不同的绘画风格。

在机器学习领域，continuous normalizing flow这样的方法就是通过构造向量场来近似目标分布。

在日常生活中，设计各种点心的表面图案实际上也可以理解为构造向量场。

总之向量场是一个比较复杂的数学问题，每年都会涌现出一批新的算法和技术。本节课我们主要关注向量场的各种理论性质，而在后面的课程中则会介绍向量场在离散曲面上相关的方法。

Tangent Space

在前面的课程中我们介绍过切空间的概念。这里我们主要使用它的第二种定义，即切空间是 $p$ 点附近局部参数化映射 $g$ 的微分 $d g$ 的像。

在此基础上我们定义切丛(tangent bundle)为流形上的点 $p$ 与该点处所有切向量构成的集合。这样向量场可以定义为流形到切丛的映射 $u : M \to T M$ ，即我们为流形上每一点 $p$ 配备一个切向量 $u (p) = (p, v)$ 。

Gradient Vector Fields

流形上的标量函数会为每一点赋予一个标量值。

而标量函数的微分则给出了切向量在映射作用下的变化。

把它们结合起来我们就可以定义流形上的梯度场，它是标量函数 $f$ 的微分并且给出了 $f$ 在切向量 $v$ 方向上的导数。

Differentiate a Vector Field

接下来我们考虑如何对向量场进行微分。其中最基本的问题在于如何去比较流形上的切空间，当我们脱离了欧式空间后就无法直接对向量进行加减了。

除此之外流形上的微分也有不同的形式，在本门课中我们会重点介绍Lie导数(Lie derivative)和协变导数(covariant derivative)这两种形式。

Differentiate a Vector Field on a Manifold

我们从欧式空间中的向量场开始。假设待求导数的向量场为 $Y$ ，则 $p$ 点处 $Y$ 在 $X$ 方向的导数为：

D_{X} Y |_{p} = lim_{t \to 0} \frac{Y (p + t X) - Y (p)}{t}

上面的定义在流形上会产生一定的问题。对于 $Y (p + t X)$ 项我们需要保证它位于切空间中，因此不能简单地使用向量加法。除此之外， $Y (p + t X)$ 和 $Y (p)$ 之间的减号是建立在欧式空间中的，而在流形上 $Y (p + t X)$ 和 $Y (p)$ 位于两个不同的切空间，我们不能直接进行相减。

为了处理加法的问题，我们可以在流形上构造一条曲线 $γ_{p} (t) : (- ε, ε) \to M$ 且满足 $γ_{p} (0) = p, γ_{p}^{'} (0) = X (p)$ 。这样 $Y (p + t X)$ 可以重新表示为：

lim_{t \to 0} \frac{Y (γ_{p} (t)) - Y (p)}{t}

而对于 $Y (p + t X)$ 和 $Y (p)$ 位于不同切空间的问题，我们需要定义一个函数将 $Y (p + t X)$ 映射到 $Y (p)$ 所在的切空间中：

Φ_{t}^{p} : T_{γ_{p} (t)} M \to T_{p} M

此时向量场的微分可以表示为：

lim_{t \to 0} \frac{Φ_{t}^{p} (Y (γ_{p} (t))) - Y (p)}{t}

Lie Derivative

Lie导数使用向量场 $X$ 的积分曲线(integral curve)来处理向量场 $Y$ 的微分。所谓积分曲线是指从 $p$ 点出发在向量场中每时每刻沿向量 $X (p)$ 进行流动得到的曲线，即曲线满足ODE：

\frac{d}{d t} ϕ_{t}^{X} (p) = X (ϕ_{t}^{X} (p)), ϕ_{0}^{X} (p) = p

接下来取 $γ_{p} (t) = ϕ_{t}^{X} (p)$ ；然后沿着积分曲线把 $Y (p + t X)$ 拽回到 $Y (p)$ 上，即令 $Φ_{t}^{p} = d ϕ_{- t}^{X} |_{γ_{p} (t)}$ 。如此计算的微分即为向量场的Lie导数，记作 $L_{X}^{Y}$ 。

Covariant Derivative

而在协变导数中我们不再要求 $γ_{p} (t)$ 来自于向量场 $X$ ，任意曲线只要能满足 $γ_{p} (t)$ 的条件都是合理的选择。然后沿着曲线 $γ_{p} (t)$ 基于平行运输(parallel transport)来构造 $Φ_{t}^{p}$ 。协变导数记作 $\nabla_{X} Y$ 。