Shape Analysis课程笔记06-Smooth Surface Curvature

这个系列是MIT 6.838: Shape Analysis的同步课程笔记。本课程会介绍几何方法在图形学、机器学习、计算机视觉、医疗图像以及建筑设计等相关领域的原理和应用。本节主要介绍曲面的第二基本形式以及曲率的相关内容。

Second Fundamental Form

High-Level Questions

曲面上的一个基本问题是如何去衡量曲面偏离平面的程度，要回答这样的问题我们就需要引入曲面上曲率的概念。

实际上利用曲率我们不仅可以区分不同的曲面，也可以描述曲面是如何嵌入到空间中，甚至可以发现曲率可能是不依赖于空间邻近空间的。

Gauss Map

在正式介绍曲面上的曲率之前我们先来回忆一下曲面上的法向。对于可定向曲面，曲面上每一点都可以定义一个单位法向量。尽管在整个曲面上计算法向量是比较困难的，但至少在曲面的局部是可行的。这里我们记曲面(流形)为$\mathcal{M}$，曲面上$\mathbf{p}$点的单位法向量为$\mathbf{n}$，切空间为$T_{\mathbf{p}}\mathcal{M}$。

接下来我们利用曲线上曲率的概念来引出曲面上的曲率。回忆(平面)曲线上的Gauss映射将曲线上的点映射到单位圆上，同时(空间)曲线可以通过Frenet方程进行描述。

对于可定向曲面我们可以类似地定义(可定向)曲面上的Gauss映射，它将曲面上的点映射到单位球上：

同时为了方便后面的推导，我们引入映射微分的定义。对于流形$\mathcal{M}$到流形$\mathcal{N}$的映射$\phi$以及$\mathbf{p}$点切空间上的曲线$\gamma$，$\phi$的微分$d{\phi }_{\mathbf{p}}:T_{\mathbf{p}}\mathcal{M}\to T_{\phi (\mathbf{p})}\mathcal{N}$可以表示为：

$$d{\phi }_{\mathbf{p}}({\gamma }^{\prime }(0))=(\phi \circ \gamma {)}^{\prime }(0)$$

其中，曲线$\gamma$需要满足$\gamma (0)=\mathbf{p}$以及${\gamma }^{\prime }(0)=\mathbf{v}\in T_{\mathbf{p}}\mathcal{M}$。

Shape Operator

接下来我们开始推导曲面上Gauss映射的微分。在$\mathbf{p}$点的切平面上取向量$\mathbf{v}\in T_{\mathbf{p}}\mathcal{M}$，进而定义曲面上的曲线$\gamma (t):(-\epsilon ,\epsilon )$使得$\gamma (0)=\mathbf{p}$且${\gamma }^{\prime }(0)=\mathbf{v}$。利用微分公式可以得到：

$$d{\mathbf{n}}_{\mathbf{p}}(\mathbf{v})=(\mathbf{n}\circ \gamma {)}^{\prime }(0)$$

由于Gauss映射$\mathbf{n}$的像是一个单位向量，等式右侧需要满足：

$$(\mathbf{n}\circ \gamma {)}^{\prime }\perp {\mathbf{n}}_{\mathbf{p}}$$

这表示$d{\mathbf{n}}_{\mathbf{p}}(\mathbf{v})$一定位于切平面$T_{\mathbf{p}}\mathcal{M}$上，即

$$d{\mathbf{n}}_{\mathbf{p}}(\mathbf{v})\in T_{\mathbf{p}}\mathcal{M}$$

实际上$d{\mathbf{n}}_{\mathbf{p}}$也称为shape operator。

Second Fundamental Form

利用shape operator我们可以定义曲面的第二基本形式(second fundamental form)：

$$\mathbf{II}(\mathbf{v},\mathbf{w})=-\mathbf{v}\cdot d{\mathbf{n}}_{\mathbf{p}}(\mathbf{w})$$

如果我们将切平面上两个相同的向量${\gamma }^{\prime }(0)=\mathbf{T}\in T_{\mathbf{p}}\mathcal{M}$送入第二基本形式$\mathbf{II}$，可以发现第二基本形式连接了曲线与曲面的法向。首先利用切平面和曲面法向的定义有：

$${\gamma }^{\prime }(s)\in T_{\mathbf{p}}\mathcal{M}\iff {\gamma }^{\prime }(s)\cdot \mathbf{n}(\gamma (s))=0$$

对两边同时微分可以获得：

$$\kappa \mathbf{N}(s)\cdot \mathbf{n}(\gamma (s))+\mathbf{T}(s)\cdot d{\mathbf{n}}_{\gamma (s)}({\gamma }^{\prime }(s))=0$$

式中，$\mathbf{T}(s)$和$\mathbf{N}(s)$分别为曲线$\gamma (s)$的切向和法向，$\kappa$则是曲线的曲率。注意到左边第二项的形式可以改写为曲面的第二基本形式：

$$\mathbf{T}(s)\cdot d{\mathbf{n}}_{\gamma (s)}({\gamma }^{\prime }(s))=\mathbf{T}(s)\cdot d{\mathbf{n}}_{\gamma (s)}(\mathbf{T}(s))=-\mathbf{II}(\mathbf{T},\mathbf{T})$$

因此有

$$\mathbf{II}(\mathbf{T},\mathbf{T})=\kappa \mathbf{N}\cdot \mathbf{n}$$

Relationship to Curvature of Curves

在曲面的第二基本形式基础上我们还可以对曲线的曲率进行分解，得到法曲率(normal curvature)以及测地曲率(geodesic curvature)。其中法曲率${\kappa }_{\mathbf{n}}$等于曲面的第二基本形式，表示曲线依附于曲面所导致的加速度；而测地曲率则描述了曲线在切平面上的弯曲程度。

曲面的第二基本形式的另一个重要性质是对称性，这里我们简单推导一下。假设曲面上$\mathbf{p}$点存在局部参数化$\varphi$，参数平面上的一对基向量分别记为${\mathbf{x}}^1$和${\mathbf{x}}^2$。利用法向量的概念有：

$$\mathbf{n}\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial {\mathbf{x}}^1}=0$$ $$\mathbf{n}\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial {\mathbf{x}}^2}=0$$

对等式进行微分有：

$$\frac{\partial }{\partial {\mathbf{x}}^2}(\mathbf{n}\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial {\mathbf{x}}^1})=\frac{\partial \mathbf{n}}{\partial {\mathbf{x}}^2}\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial {\mathbf{x}}^1}+\mathbf{n}\cdot \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial {\mathbf{x}}^1\partial {\mathbf{x}}^2}=0$$ $$\frac{\partial }{\partial {\mathbf{x}}^1}(\mathbf{n}\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial {\mathbf{x}}^2})=\frac{\partial \mathbf{n}}{\partial {\mathbf{x}}^1}\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial {\mathbf{x}}^2}+\mathbf{n}\cdot \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial {\mathbf{x}}^1\partial {\mathbf{x}}^2}=0$$

因此有：

$$\frac{\partial \mathbf{n}}{\partial {\mathbf{x}}^2}\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial {\mathbf{x}}^1}=\frac{\partial \mathbf{n}}{\partial {\mathbf{x}}^1}\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial {\mathbf{x}}^2}$$

令$t_1=\frac{\partial \varphi }{\partial {\mathbf{x}}^1}$，$t_2=\frac{\partial \varphi }{\partial {\mathbf{x}}^2}$，上式可以重新记为：

$$t_1\cdot d\mathbf{n}(t_2)=t_2\cdot d\mathbf{n}(t_1)$$

上式表明对于基向量${\mathbf{x}}^1$和${\mathbf{x}}^2$，第二基本形式$\mathbf{II}$满足对称性。进一步利用$\mathbf{II}$的双线性性质可以证明对于任意向量$\mathbf{v}$和$\mathbf{w}$，对称性同样成立：

$$\mathbf{II}(\mathbf{v},\mathbf{w})=\mathbf{II}(\mathbf{w},\mathbf{v})$$

我们还可以定义一个矩阵$l_{ij}=\mathbf{II}(t_i,t_j)$，显然矩阵$l_{ij}$是一个对称矩阵。

Curvatures

Principal Directions and Curvatures

利用曲面的第二基本形式可以定义曲面上的曲率。我们假设切平面上存在一组正交基${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2\in T_{\mathbf{p}}\mathcal{M}$，因此切平面上的任意单位向量可以表示为：

$${\mathbf{v}}_{\theta }={\mathbf{e}}_1\cos \theta +{\mathbf{e}}_2\sin \theta$$

我们把${\mathbf{v}}_{\theta }$带入曲面的第二基本形式就得到了该方向上的曲率：

$${\kappa }_{\theta }=\mathbf{II}({\mathbf{v}}_{\theta },{\mathbf{v}}_{\theta })$$

当我们旋转角度$\theta$时会得到不同的曲率，其中最小和最大的两个曲率${\kappa }_{min}$和${\kappa }_{max}$称为曲面的主曲率(principal Curvature)，对应的方向则称为主方向(principal direction)。

实际上两个主方向还是相互正交的，因此我们可以把${\mathbf{e}}_1$和${\mathbf{e}}_2$的方向取为主方向。此时可以得到更简洁的曲率表达式：

$${\kappa }_{\theta }={\kappa }_{min}{\cos }^2\theta +{\kappa }_{max}{\sin }^2\theta$$

Curvature Measures

利用主曲率我们还可以定义曲面的Gauss曲率(Gaussian curvature)和平均曲率(mean curvature)，它们同样与曲面的第二基本形式有深刻的联系：

$$K={\kappa }_{min}\cdot {\kappa }_{max}=det\mathbf{II}$$ $$H=\frac{1}{2}({\kappa }_{min}+{\kappa }_{max})=\frac{1}{2}\text{tr}\mathbf{II}$$

Interpretation

Gauss曲率和平均曲率在工程中有着大量的应用。Gauss曲率描述了曲面凹凸的行为，而平均曲率则描述了曲面和法向之间的关系。

还可以证明上面定义的平均曲率实际也是字面意义的「平均」曲率。

对于二次曲面，我们可以使用Gauss曲率和平均曲率来判别曲面的形式。

除此之外，我们还可以从曲面测地圆(geodesic circle)的角度来理解Gauss曲率。

曲面论基本定理指出，曲面可以由第一基本形式和第二基本形式唯一确定。

Mean Curvature Normal

平均曲率与曲面的面积有深刻的联系，这里我们用variational calculus来推导它们之间的关系。首先我们引入局部参数化$f_t(u,v):U\subseteq {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$，此时可以定义三个导数$T_u=\frac{\partial f_t}{\partial u}$、$T_v=\frac{\partial f_t}{\partial v}$以及$w_t=\frac{\partial f_t}{\partial t}$。

我们可以把$w_t$理解为一个向量场，它会引导曲面局部的变形。我们的目标是计算Gateaux导数$d{A}_{\mathcal{M}}(w)$，首先根据曲面面积公式有：

$$A(t)=\int {\int }_U\Vert \frac{\partial f_t}{\partial u}\times \frac{\partial f_t}{\partial v}{\Vert }_{2}dudv=\int {\int }_U\Vert T_u\times T_v{\Vert }_{2}dudv$$

对$A(t)$求导有：

$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime }(t)& =\int {\int }_U\frac{d}{dt}\Vert T_u\times T_v{\Vert }_{2}dudv\\ & =\int {\int }_U\Vert T_u\times T_v{\Vert }_2^{-1}(T_u\times T_v)\cdot \frac{d}{dt}(T_u\times T_v)dudv\\ & =\int {\int }_U\mathbf{n}\cdot (\frac{\partial T_u}{\partial t}\times T_v+T_u\times \frac{\partial T_v}{\partial t})dudv\\ & =\int {\int }_U\mathbf{n}\cdot (\frac{\partial w_t}{\partial u}\times T_v+T_u\times \frac{\partial w_t}{\partial v})dudv\end{array}$$

利用混合积的性质$a\cdot (b\times c)=b\cdot (c\times a)$，有：

$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime }(t)& =\int {\int }_U\mathbf{n}\cdot (\frac{\partial w_t}{\partial u}\times T_v+T_u\times \frac{\partial w_t}{\partial v})dudv\\ & =\int {\int }_U(\frac{\partial w_t}{\partial u}\cdot (T_v\times \mathbf{n})+\frac{\partial w_t}{\partial v}\cdot (\mathbf{n}\times T_u))dudv\end{array}$$

接下来使用分部积分可以得到：

$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime }(t)& =\int {\int }_U(\frac{\partial w_t}{\partial u}\cdot (T_v\times \mathbf{n})+\frac{\partial w_t}{\partial v}\cdot (\mathbf{n}\times T_u))dudv\\ & =-\int {\int }_U{w}_t\cdot (\frac{\partial }{\partial u}(T_v\times \mathbf{n})+\frac{\partial }{\partial v}(\mathbf{n}\times T_u))dudv\end{array}$$

对括号内的部分进行展开有：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial u}(T_v\times \mathbf{n})+\frac{\partial }{\partial v}(\mathbf{n}\times T_u)& =\frac{\partial T_v}{\partial u}\times \mathbf{n}+T_v\times \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial u}+\frac{\partial \mathbf{n}}{\partial v}\times T_u+\mathbf{n}\times \frac{\partial T_u}{\partial v}\\ & =\frac{\partial T_v}{\partial u}\times \mathbf{n}+T_v\times \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial u}+\frac{\partial \mathbf{n}}{\partial v}\times T_u-\frac{\partial T_u}{\partial v}\times \mathbf{n}\\ & =T_v\times \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial u}+\frac{\partial \mathbf{n}}{\partial v}\times T_u\end{array}$$

然后整理得到：

$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime }(t)& =-\int {\int }_U{w}_t\cdot (T_v\times \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial u}+\frac{\partial \mathbf{n}}{\partial v}\times T_u)dudv\\ & =-\int {\int }_U{w}_t\cdot (T_v\times d\mathbf{n}(T_u)-T_u\times d\mathbf{n}(T_v))dudv\end{array}$$

注意到$d\mathbf{n}(T_u)$和$d\mathbf{n}(T_v)$都位于切平面上，根据叉乘的几何意义括号内的部分一定垂直于切平面。因此整个积分可以重新表示为：

$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime }(t)& =-\int {\int }_U{w}_t\cdot (T_v\times d\mathbf{n}(T_u)-T_u\times d\mathbf{n}(T_v))dudv\\ & =-\int {\int }_U(w_t\cdot \mathbf{n})((T_v\times d\mathbf{n}(T_u)-T_u\times d\mathbf{n}(T_v))\cdot \mathbf{n})dudv\\ & =\int {\int }_U(w_t\cdot \mathbf{n})(\mathbf{II}(T_u,T_u)+\mathbf{II}(T_v,T_v))dudv\\ & =2\int {\int }_U{w}_t\cdot (H\mathbf{n})dudv\end{array}$$

式中向量$H\mathbf{n}$称为mean curvature normal，它的方向为曲面法向而大小等于该处的平均曲率。

最后我们来计算Gateaux导数：

$$dA(w)={\int }_{\mathcal{M}}w\cdot (H\mathbf{n})dA$$

这里我们可以把$H\mathbf{n}$看做曲面面积的梯度，这样就可以通过设计$w$来调整曲面的面积。平均曲率流(mean curvature flow)就是利用的微分方程mean curvature normal来调整曲面上点的位置并逐步减少曲面面积的算法：

$$\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}=-H\mathbf{n}$$

通过平均曲率流可以使曲面收敛到极小曲面(minimal surface)，即给定边界条件下面积最小的曲面。

Reference

• Lecture 06: Second fundamental form and surface curvature
• Lecture 06 (extra content): First variation of surface area, mean curvature normal
• Smooth Surface Curvature
• Chapter 5: Curvature