Shape Analysis课程笔记01-Introduction

这个系列是MIT 6.838: Shape Analysis的同步课程笔记。本课程会介绍几何方法在图形学、机器学习、计算机视觉、医疗图像以及建筑设计等相关领域的原理和应用。本节主要介绍课程大纲以及涵盖的内容。

Theoretical Toolbox

Euclidean Geometry

几何(geometry)是人类最早开始研究的数学之一。从古希腊时期的《几何原本》到今天自动驾驶中的三维点云，甚至机器学习中的图像识别都和几何密切相关。可以说对于几何的研究贯穿了整个人类发展的历史。

实际上上面提到的例子都可以划分到欧式几何(Euclidean geometry)的研究范畴中。欧式几何非常直观而且符合人们对于空间的想象，但其缺陷在于欧式几何所能表达和研究的几何形式都过于简单了，而现代几何的研究则需要更加高级的数学工具。

Differential Geometry

微分几何(differential geometry)的出现是几何学发展的一个重要里程碑，它的基本研究对象称为流形(manifold)。简单来说我们可以认为三维空间中流形上任一点在局部仍然是一个二维平面，因此我们可以使用微积分的工具来对流形进行分析。

微分几何会是本课程介绍的重点内容。我们会利用微分几何的相关方法来定义和计算曲面的各种几何量，包括曲率、距离等。同时微分几何也是目前整个几何处理领域的核心工具，像是曲面上的向量场或是各种微分算子都需要借助微分几何的相关理论来进行处理。

Riemannian Geometry

在微分几何的基础上人们还发展出了黎曼几何(Riemannian geometry)这样更高级的几何工具，它在相对论中有着重要的应用。不过本课程不会讨论黎曼几何在物理上的意义，而是会结合黎曼几何的相关概念来讨论曲面上的几何问题包括曲面的度量和角度等。

Geometric Mechanics and Lie Groups

现代几何学在工程中的一个重要应用是几何力学(geometric mechanics)，即利用几何的方法来研究各种力学问题。以下图所示的双摆问题为例，经典力学的研究方法是把双摆的运动建模为带约束的方程进行求解。而如果从几何的角度出发，我们可以直接考虑双摆的约束这样它的运动轨迹就位于两个圆的积上，这样就无需引入额外的约束了。实际上双摆的运动轨迹构成了一个李群(Lie group)，这也是现代数学的重要研究分支。