这个系列是Gatech OMSCS 深度学习课程(CS 7643: Deep Learning)的同步课程笔记。课程内容涉及深度学习的基本理论方法以及它在计算机视觉、自然语言处理以及决策理论等领域中的应用，本节主要介绍深度学习中的卷积层和池化层。
Convolution Layers
Limitation of Linear Layers
在前面的课程中我们介绍过计算图和自动微分的概念。通过自动微分技术我们可以把任意可微的操作封装成一个计算图，并且利用反向传播来更新参数。这样整个模型的瓶颈就在于内存，只要模型能够放入到内存中我们就可以进行优化。
目前我们只介绍了线性层来对输入数据进行变换。对于输入为M维输出为N维的数据，线性层共需要M*N+N个参数。对于图像这种维度很高的数据而言线性层的参数是非常庞大的；更重要的是更多的模型参数意味着更高的模型复杂度，要训练这样巨大的模型需要有非常多的数据才能保证不出现过拟合的问题。
Locality of Features
实际上对于图像这种数据我们并不需要如此多的参数来建立模型。图像这类数据的特点是它具有局部性，换句话说图像上的特征都只与它附近的数据相关与远处的数据无关。
Receptive Fields
由于特征是局部的，在提取特征时我们不用把全图都考虑进来而只需要考虑一个小窗口上的区域即可，这个区域称为感受野(receptive field)。根据感受野的假定，我们可以把提取每个特征的参数量从M * N + N降低到(K1 * K2 + 1) * N，这样就极大地降低了模型的复杂度。
Shared Weights
在感受野的基础上我们可以进一步假定输出的节点上都对应相同的特征，也就是说计算每个特征的权重是共享的。这样，每个特征对应的参数就降低为K1 * K2 + 1。
Learn Many Features
在每个邻域上我们可以同时计算多个特征，这样可以提高模型的表达能力。此时整个计算特征的参数量为(K1 * K2 + 1) * M。
Convolution
实际上卷积(convolution)运算就是满足上面三条假定的运算。在信号处理和计算机视觉等领域中卷积运算有着大量的应用，我们可以通过卷积运算来得到输入信号在不同特征上的相应。
卷积运算的数学表达式如下。
对于给定的卷积核K，卷积运算可以理解为首先将K旋转90°然后在图像上进行滑动，在滑动时提取图像对应区域进行相乘并求和。
Cross-Correlation
与卷积类似的图像变换是相关(cross-correlation)，它也需要将核K在图像上滑动并求和。但与卷积不同的是相关运算不需要先对K进行旋转，只需要直接让K进行滑动即可。
在实际进行编程时我们不会区分卷积核相关的概念，而是统一使用相关进行运算。这一方面是因为相关运算比较简单易于实现，更重要的是我们不会指定核而是通过学习的方式来获得核的值。从这样的角度上讲，使用相关来代替卷积更方便我们理解计算的过程。
Input and Output Sizes
Valid Convolution
要实现卷积运算首先需要考虑卷积输出的尺寸。对于标准的卷积运算，卷积输出的尺寸为(H - k1 + 1) * (W - k2 + 1)，也就是说输出图像的长和宽会有一定程度的缩减。
Padding
如果想让卷积运算后的图像尺寸没有变化则需要在卷积前对图像的四周进行填充(padding)，最常见的填充方式是在四周填充一圈0。
Stride
有时我们会让卷积的步长(stride)大于1，此时卷积后图像的长宽尺寸分别为：
\[h = \bigg\lfloor \frac{H - k_1}{s} \bigg\rfloor + 1\] \[w = \bigg\lfloor \frac{W - k_2}{s} \bigg\rfloor + 1\]
此时还需要额外注意图像边界上的情况。
Multiple Kernels
对于多通道图像的情况，我认为每个核会把多通道的输入图像映射成一个单通道的输出图像。
对于多通道的输出，只需要将核并列起来即可。
这样卷积核K就是一个4维的张量K[C1, C2, k1, k2]。
Vectorization
如果使用循环来实现卷积的话会使计算效率非常低下。注意到卷积核在每个位置上都只进行了内积运算，因此我们可以把卷积运算转换成矩阵运算。对于输入图像，我们把每一块的数据展开成一个行向量，同时把卷积核每一维的输出展开成一个列向量，这样整个卷积运算就可以使用矩阵乘法来表示。这样的向量化方法会使卷积运算更加高效，同时在计算梯度时也可以利用矩阵运算的反向传播公式来进行加速。
Pooling Layers
通常情况下我们会通过卷积运算来增加输出图像的通道数，而一味地增加通道数会使得数据的维度过高产生各种各样的问题。因此我们需要对图像数据的维度进行缩减，这可以通过池化(pooling)操作来实现。
Max Pooling
最常用的池化操作是最大值池化(max pooling)。类似于卷积，我们同样使用一个窗口在图像上滑动每次提取窗口中的最大值作为输出。
当然池化的种类不局限于最大值池化，我们也可以使用窗口内的均值或是任意的可微函数来进行池化。不过这样的池化层比较少见，目前主流的方法还是使用最大值进行池化。
Invariance
池化层的一个特点是具有一定的不变性(invariance)，当输入图像发生微小的平移时池化层的输出是不变的。
而卷积层则具有等变性(equivariance)，当输入图像发生平移时输出图像会发生同样的平移。
